SERIES

SERIES

1. Definición

   • sucesión
     • Si el dominio de una función f es el conjunto de enteros positivos, entonces los elementos f(n) en el rango pueden arreglarse en un orden correspondiente a los valores crecientes de n: f(1),f(2),f(3),......,f(n)... se consideran funciones cuyo dominio es el conjunto de enteros positivos y cuyos elementos del rango son números reales.
       • Una sucesión es una función cuyo dominio es el conjunto de enteros positivos (naturales), sule denotarse mediante (a_{n})o(a_{n})^{oo}_{n=1}. sirve para números naturales D=(1,2,3,4,...)a_{1},a_{2},a_{3},....,a_{n}
   • Serie
     • El concepto de serie est´a relacionado con un problema muy antiguo de las Matem´aticas: ¿es posible que la suma de infinitos t´erminos positivos d´e como resultado un n´umero finito? La respuesta es afirmativa y s´olo hay que definir correctamente el concepto de “suma infinita”. En este cap´ıtulo se introducen las definiciones, propiedades b´asicas y algunos criterios de convergencia de series, con especial atenci´on a las series de potencias
       • Sea {xn}n≥1 = {x1, x2, x3, . . . } una sucesi´on de n´umeros reales. La suma sn = x1 + · · · + xn de los n primeros t´erminos se llama suma parcial n-´esima de la sucesi´on. Se llama serie asociada a {xn} a la sucesi´on {sn} de sumas parciales

2. tipos de series

   • Finitas
     • Una serie finita termina finitamente, esto es, tiene definido tanto el primer como el último término. Por otro lado, una serie infinita continúa sin interrupción. Por ejemplo: {1, 3, 6, 8} se puede considerar como una serie finita, mientras que una serie de la forma {2, 4, 6 8…} es un ejemplo de serie infinita.
       • Ejemplo:
         • Por ejemplo, la sucesión (A, B, C) es una sucesión de letras que difiere de la sucesión (C, A, B). En este caso se habla de sucesiones finitas (de longitud igual a 3). Un ejemplo de sucesión infinita sería la sucesión de números positivos pares: 2, 4, 6, 8…
   • Infinitas
     • Como se puede advertir al analizar estas definiciones, una serie finita es una sucesión que tiene final. Esta característica diferencia a las series finitas de las series infinitas, que no cuentan con un fin (y, por lo tanto, pueden extenderse o prolongarse indefinidamente).
       • Ejemplo:
         • Una serie infinita, por lo tanto, es una seguidilla de unidades que no tiene final. El concepto opuesto es el de serie finita, que se caracteriza por finalizar en un determinado momento.

3. INSTITUTO TECNOLÓGICO SUPERIOR DE URUAPAN INGENIERIA CIVIL ENTREGA: LUZ ANAELA GUARDIÁN SALTO DOCENTE: OSMANI GONZALES PUGA SEMESTRE 2 GRUPO B MATUTINO NO. CONTROL: 21040148

4. series numericas

   • criterios de convergencia
     • condicion necesaria de convergencia
       • TEOREMA.- Si la serie ∑∞n=1an es convergente, entonces limn→∞an=0.
         • Que el término general de la serie tienda a cero es una condición necesaria para la convergencia de la serie, pero no es una condición suficiente, como muestra la serie armónica ∑∞n=11n que cumple esta condición necesaria al ser limn→∞1n=0 y sin embargo se trata de una serie divergente: la sucesión de sumas parciales

5. series de potencias

   • Una serie de potencias es una suma de términos dados en la forma general aₙ(x-a)ⁿ. Que esta serie converja o diverja, y el valor al cual converge o diverge, depende del valor de x, lo cual hace a la serie una función.
     • Una propiedad fundamental de las funciones analíticas es que pueden representarse por medio de series de potencias. También, salvo algunas excepciones toda serie de potencias convergente define una función analítica. Esto hace muy importante a las series de potencias para el estudio de funciones analíticas. La expresión general de una serie de potencias es:
       • Sin pretender entrar en definiciones complejas diremos que las series pueden ser: Convergente: Cuando la suma es un número real. Divergente: Cuando la suma da + o - infinito. Oscilante: Cuando no es ninguna de las anteriores.

6. series de Taylor y Maclaurin

   • serie de Maclaurin
     • En matemáticas, la serie de Taylor de una función f(x) infinitamente derivable (real o compleja) definida en un intervalo abierto (a-r, a+r) se define con la siguiente suma: sin(x) y aproximaciones de Taylor centradas en 0, con polinomios de grado 1, 3, 5, 7, 9, 11 y 13.
       • f(x) = \sum_{n=0}^{\infin} \frac{f^(n)(a)}{n!} (x-a)^{n} Aquí, n! es el factorial n y f (n)(a) indica la n-ésima derivada de f en el punto a.
         • Si esta serie converge para todo x perteneciente al intervalo (a-r, a+r) y la suma es igual a f(x), entonces la función f(x) se llama analítica. Para comprobar si la serie converge a f(x), se suele utilizar una estimación del resto del teorema de Taylor. Una función es analítica si y solo si se puede representar con una serie de potencias; los coeficientes de esa serie son necesariamente los determinados en la fórmula de la serie de Taylor. Si a = 0, a la serie se le llama serie de Maclaurin.
   • serie de Taylor
     • La serie de Taylor es una serie funcional y surge de una ecuación en la cual se puede encontrar una solución aproximada a una función.
       • ¿para qué sirve?
         • La serie de Taylor proporciona una buena forma de aproximar el valor de una función en un punto en términos del valor de la función y sus derivadas en otro punto. La serie de Taylor se basa en ir haciendo operaciones según una ecuación general y mientras más operaciones tenga la serie más exacto será el resultado que se está buscando. Dicha ecuación es la siguiente:

7. Cálculo de integrales de funciones expresadas como serie de Taylor

   • En una funcionF( X) que es diferenciable esX=X0, la representación de serie de Taylor\begin{align*}f(x)\end{align*} \begin{ alinear*}x=x_0\end{alinear*} F( X) centrado enX=X0 es la serie de potencias:
     • La serie de Taylor de una funciónf de números reales o complejos que es infinitamente diferenciable en un entorno de números reales o complejosa, es la serie de potencias:
       • o compacta:
   • Ejemplos
     • Encuentre el polinomio de grado 4 que satisface: P(2) = 3, P '(2) = 5, P (2) (2) = 4, P (3) (2) =24 y P (4) (2) =48 Solución: Para encontrar la expresión del polinomio en términos de (x-2), simplemente sustituimos xo = 2 y n = 4 en la expresión ( I ), obteniendo:
       • y por lo tanto el polinomio buscado es: P(x) = 3 + 5(x-2) + 2(x-2)2 + 4(x - 2)3 + 2(x - 2)4

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