Limites de funções

Limites de funções

1. Definição

   • Seja f : X → R uma fun¸c˜ao real, onde X ⊆ R. Seja y ∈ X . Dizemos que l ∈ R ´e o limite de f(x) quando x tende a y, se dado ε > 0 existe δ > 0 tal que para todo x ∈ X que satisfaz 0 < |x − y| < δ, tem-se |f(x) − l| < ε. Neste caso, escrevemos limx→y f(x) = l.

2. Limites no infinito

   • Definição: Sejam f : X → R uma função e y ∈ X . Dizemos que f(x) tende a ∞ quando x tende a y se dado A > 0, existe δ > 0 tal que para todo x ∈ X com 0 < |x − y| < δ, tem-se f(x) > A. Neste caso, escrevemos limx→y f(x) = ∞.
   • Definição: Sejam f : X → R uma função e y ∈ X . Dizemos que f(x) tende a −∞ quando x tende a y se dado A > 0, existe δ > 0 tal que para todo x ∈ X com 0 < |x − y| < δ, tem-se f(x) < −A. Neste caso, escrevemos limx→y f(x) = −∞.
   • Limite infinito no infinito
     • Definição: Seja f : X → R uma função , onde X é ilimitado superiormente. Dizemos que f(x) tende a ∞ quando x tende a ∞, se dado A > 0, existe B > 0 tal que para todo x ∈ X, com x > B, infere-se f(x) > A. Neste caso escrevemos limx→∞ f(x) = ∞.
     • Definição: Seja f : X → R uma função, onde X é ilimitado inferiormente. Dizemos que f(x) tende a −∞ quando x tende a ∞ se dado A > 0, existe B > 0 tal que para todo x ∈ X, com x > B, encontra-se f(x) < −A. Nesta situação, escrevemos limx→∞ f(x) = −∞.

3. Limites Laterais

   • Limite Lateral à Direita: Sejam f : X → R uma aplicação e y ∈ X +. Dizemos que o limite à direita de f(x) quando x tende a y é l, se dado ε > 0, existe δ > 0 tal que para todo x ∈ X ∩ (y, y + δ), tem-se |f(x) − l| < ε. Neste caso, escrevemos lim x→y+ f(x) = l.
   • Limite Lateral à Esquerda: Sejam f : X → R uma função e y ∈ X −. Dizemos que o limite à esquerda de f(x) quando x tende a y é l, se dado ε > 0, existe δ > 0 tal que para todo x ∈ X ∩ (y − δ, y), tem-se |f(x) − l| < ε. Neste caso, escrevemos lim x→y− f(x) = l.

4. Teorema do Confronto: Se f(x) ⩽ g(x) ⩽ h(x) quando x está próximo a a (exceto possivelmente em a) e limx→a f(x) = limx→a h(x) = L então, limx→a g(x) = L.

   • Teorema do anulamento: Se f=f(x) é uma função limitada e g é uma função tal que limg(x)=0 , quando x→a , então: limf(x)⋅g(x)=0

5. Propriedades dos limites

   • Propriedades Fundamentais dos Limites
     • Limite de uma constante : O limite de uma constante é igual à própria constante. Se f(x) = C, onde C é uma constante, então, qualquer que seja n : lim x→y f(x) = c, f(x) = c, ∀ x ∈ R.
       • Princípio da Unicidade dos limites: Uma função não pode tender a dois limites distintos no mesmo ponto. De fato, se lim x→a f(x) = M e lim x→a f(x) = N, então M = N.
         • Princípio da equivalência dos limites Dadas duas funções equivalentes f(x) e g(x) que têm valores iguais em todos os pontos em um entorno δ de n , exceto no ponto n ; se lim x→ n f(x) = p , então lim x→n g(x) = p .
           • Princípio do sinal dos limites : Se lim lim x→ n f(x) = p , onde p é diferente de zero, existe um entorno δ deste ponto, tal que para todo x ≠ n , f(x) tem o mesmo sinal de p .
   • Propriedades Algébrica dos Limites
     • As propriedades se aplicam a limites finitos
       • Limites de somas e diferenças: Se duas funções têm limites finitos, o limite de sua soma (ou diferença) é igual à soma (ou diferença) dos limites das funções. lim (f(x) ± g(x) ) = lim f(x) ± lim g(x).
         • Limites de Produtos: Se duas funções têm limites finitos, o limite do produto entre elas é igual ao produto dos limites. lim ( f(x) g(x) = lim f(x) lim g(x).
           • Produto por um escalar: Se uma função tem limite finito, o limite do seu produto por um escalar é igual ao produto do escalar pelo limite da função. lim ( lambda f(x) = lambda lim f(x)
             • Limite de um quociente: Sejam duas funções cujos limites são finitos, o limite da divisão entre elas é igual ao quociente dos limites, desde que o divisor seja diferente de zero e nenhuma delas seja igual ao infinito. Seja lim f(x) = p e lim g(x) = q, onde p , q ≠ ∞ ∈ ℝ e q ≠ 0 , então: lim ( f(x) /g(x)) = lim f(x) / lim g(x) = p/q.

6. Aplicações de Limites

   • O problema da tangente
     • Velocidades
       • Conceito de derivada
         • Taxa de Variação