Integrales Dobles y Triples

Integrales Dobles y Triples

1. Integrales Dobles

   • Sea f(x,y) una función continua para los valores de x,y que pertenecen a R. Para un y fijo obtenemos la función F(x)=f(x,y) que también es continua y por tanto integrable en [a,b], La función obtenida, G(y), es continua y por tanto integrable en [c,d] de tal forma que podemos definir la integral doble de la función f(x,y) el rectángulo R=[a,b]x[c,d]
     • Ejemplo #2 Área de una figura plana
       • Recordemos la integral doble como el volumen de un solido S definido sobre una region R y bajo la grafica de una función f. Ahora vamos a considerar f(xy)=1 , entonces la integral queda de la siguiente manera:
         • Donde ∫∫dA representa el volumen de un solido de volumen transversal constante, cuya base es la region R. Para un solido con estas características el volumen se obtiene como el producto del área de la base y altura del mismo Así que definimos el calculo de una region plana como:
     • Ejemplo #1 Momento de Inercia
       • El momento de inercia de una partícula alrededor de un eje se define como el producto de su masa y el cuadrado de la distancia que la separa de ese eje y se considera como una medida de la oposición a girar del cuerpo cuando actúa sobre él una fuerza de rotación. Sea R una región del plano (x,y), tal que su densidad pertenece a R y la cual es continua ∀(x,y) ∈ R , Los momentos de inercia alrededor de los ejes x y y, denotados I(x) e I(y), las obtenemos como:
         • El momento polar de inercia es:

2. Integrales Triples

   • La definición de una integral triple es de alta similitud con la definición de las dobles integrales. Considera una región continua de la función y a partir de ésta en vez de generar o dividir en cuadros planos, se generan cubos, es decir cuadros con espesor. Siendo una integral iterada podemos definirla con los siguientes límites e integrandos. También se puede destacar que el orden de los diferenciales puede ser intercambiado, pero al mover estos diferenciales se tienen que mover los respectivos límites.
     • Ejemplo #1 Determinar el volumen de la región en el primer octante acotada por los planos coordenados y los planos x + z = 1 y y + 2 z = 2. En la figura se muestra un dibujo del sólido
       • Primero probamos si la variable z puede utilizarse para la integral exterior, se traza una recta de prueba(azul en el siguiente dibujo).
         • La recta entra en la región por el plano z = 0 y sale por el plano y + 2 z = 2 o por el plano x + z = 1 según la posición de la recta de prueba al cruzar la región, por lo tanto no se puede utilizar para la integral mas exterior (su límite superior no siempre es el mismo).Se prueba para la variable x trazando la recta de prueba en la dirección del eje x como se muestra en el siguiente dibujo.
           • La recta entra en la regi´on en el plano x = 0 y sale por el plano x + z = 1, esta ecuaci´on se puedeescribir como x = 1 − z . Entonces, la variable de la integral exterior es x con l´ımites 0 ≤ x ≤ (1 − z ).Ahora se proyecta el s´olido sobre el plano yz . Esta proyecci´on corresponde a la del plano y + 2 z = 2.En la figura se muestra la regi´on plana
     • Ejemplo # 2 Determinar el volumen del sólido encerrado por las superficies z = x 2 + 3 y 2 y z = 8 − x 2 − y 2 .
       • Se muestran las dos superficies, la curva de intersección y la proyección del sólido en el plano xy .En coordenadas rectangulares, el límite inferior de z es la superficie z = x 2 + 3 y 2 y el superior la superficie z = 8 − x 2 − y 2 . Para obtener la proyección en el plano xy , se obtiene la intersección de las dos superficies, igualando las ecuaciones
         • La ecuación corresponde a la de una elipse
           • El volumen del sólido es 16 √ 2 π .

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