Calculo Integral

Calculo Integral

1. Valor promedio

   • se mantiene constante entre x=a y x=b. Independientemente de la altura que tome la función en cada punto, el promedio de esas alturas será un valor. Entonces podemos interpretar este promedio como el área limitada por la función dividida por el intervalo b−a

2. Sumas de Riemann.

   • Es el nombre que recibe el cálculo aproximado de una integral definida, mediante una sumatoria discreta con un número de términos finito. Una aplicación común es la aproximación del área de funciones en un gráfico.
     • En una suma de RIEMANN IZQUIERDA aproximamos el área con rectángulos donde la altura de cada rectángulo es igual al valor de la función en el extremo izquierdo de su base.
     • En una suma de RIEMANN DERECHA la altura de cada rectángulo es igual al valor de la función en el extremo derecho de su base.
     • En una suma de Riemann de punto medio la altura de cada rectángulo es igual al valor de la función en el punto medio de su base.

3. Definición de integral definida.

   • Determinar el valor de las áreas limitadas por curvas y rectas. Dado el intervalo [a, b] en el que, para cada uno de sus puntos x, se define una función f (x) que es mayor o igual que 0 en [a, b]
     • Propiedades
       • Toda integral extendida a un intervalo de un solo punto, [a, a], es igual a cero.
       • Cuando la función f (x) es mayor que cero, su integral es positiva; si la función es menor que cero, su integral es negativa.
       • La integral de una suma de funciones es igual a la suma de sus integrales tomadas por separado.
       • La integral del producto de una constante por una función es igual a la constante por la integral de la función (es decir, se puede «sacar» la constante de la integral)
       • Al permutar los límites de una integral, ésta cambia de signo.
       • Dados tres puntos tales que a < b < c, entonces se cumple que (integración a trozos)
       • Para todo punto x del intervalo [a,b] al que se aplican dos funciones f (x) y g (x) tales que f (x) £ g (x), se verifica que:

4. Teorema fundamental del calculo

   • Tiene dos partes: La primera parte nos permite definir un nuevo rango de funciones usando el concepto de antiderivada. La segunda parte es consecuencia de la primera y provee una herramienta vital para el cálculo de áreas bajo la curva.
     • Si f(x) es una función integrable en un intervalo [a,b] y A(x) es una función definida como
       • Si f(x) es continua en un punto x0. Entonces, la función A(x) es derivable en el punto x0 y además,
     • Cálculo de Área Bajo la Curva
       • Presentará particular interés para lo que queremos desarrollar, pues usando esta herramienta podemos calcular áreas bajo curvas sin tener que recurrir al cálculo tedioso de límites o de sumatorias
         • Si f(x) es una función continua en un intervalo [a,b] y A(x) es una antiderivada de esta, entonces

5. Propiedades de los limites

   • son operaciones que se pueden emplear para simplificar el cálculo del límite de una función más compleja. Al tratarse de operaciones, también se le denimina álgebra de los límites.
     • Propiedades
       • Unicidad del límite: cuando el límite existe, el límite es único.
       • Propiedad de la suma: el límite de la suma es la suma de los límites
       • Propiedad de la resta: el límite de la resta es la resta de los límites
       • Propiedad del producto: el límite del producto es el producto de los límites
       • Propiedad de la función constante: el límite de una función constante es esta misma constante
       • Propiedad del factor constante: en un límite de una constante multiplicada por una función se puede sacar la constante del límite sin que se afecte el resultado

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