Algebra linear

Algebra linear

1. Espaços Vetoriais

   • Conjunto de vetores com as mesma características . Somente os planos e retas que passam pela origem são espaços vetoriais
   • Um vetor pode ser uma função, um polinômio, uma matriz, R2,R3,Rn.
     • Espaços de polinômios de função e do Rn são parecidos
   • Precisa basicamente ser :
     • Além do mais precisa responder a 4 axiomas de soma e quatro de multiplicação
     • não vazio
     • Aberto pra soma
     • Aberto para multiplicação por escalar
     • essas características podem ser alteradas, então basicamente ele vai pedir para verificar se os vetores pertencem ao conjunto
       • Como na questão 1 da prova:
         • a) basta multiplicar pelo vetor nulo, seguindo as regras de multiplicação
         • b) simétrico aditivo basta multiplicar por -1
         • c) nesta bata realizar as operações utilizando as regras, e usar propriedades de distributividade
         • Criar vetores pertencentes ao conjunto para realizar as operações
   • Subespaço vetorial
     • Espaço vetorial menor que herda as características do espaço
   • Sistemas Linearmente Dependente e Independente
     • L.I
       • Vetor único é L.I
     • L.D
       • Vetor nulo é sempre LD mesmo que sozinho
       • Todo conjunto que tem o vetor nulo
       • Quando um vetor é a combinar dos outros dois, então o conjunto é LD
         • Como por exemplo: {cos²,sen²,1} é LD pois, cos²+sen²=1
       • Todo conjunto de 3 vetores no R² é LD, da mesma forma todo conjunto com n+1 vetores em Rn é LD
     • Basicamente temos 3 métodos para descobrir se um conjunto é LI ou LD
       • Teorema 1.18
         • Se uma matriz (A)  tiver as colunas formadas por um vetor, e det (A)=0 Então o conjunto é LD e se det(A) diferente de 0 é L.I
       • Definição 1.8
         • Em um conjunto se a combinação linear tiver alfas com mais de uma solução, o conjunto é L.D. Se todas as soluções forem 0, o conjunto é L.I
         • Pode ser usado nas funções e polinomios também,
       • Wroskiano
         • Aqui é utilizado para um conjunto de funções. Monta-se uma matriz (A) com as derivadas das funções, depois aplica-se o determinante. Se det(A)=0,então o conjunto é L.D, se det(A) for diferente de 0 então é L.I
   • BASE
     • Base é um conjunto capaz de gerar todo o conjunto e precisa ser L.I 
     • Matriz M2x2
       • [10],[01],[00],[00]   [00] [00] [10] [01]
       • Dimensão n²
     • PARA DESCOBRIR A DIMENSÃO DE UMA MATRIZ TRIANGULAR SUPERIOR
       • (n+1)*n/2 n=tamanho da matriz
       • P2
         • Dimensão 3
           • (1,x,x²)
         • Pn dimensão n+1
           • Pois pode ser transformado em R³
             • Ex: x²-2x pode ser escrito como (1,-2,0)
       • R2 dimensão 2
       • R3 dimensão 3
       • Rn dimensão n
     • As coordenadas de um vetor depende de sua base
       • EX: (3,2)
         • NA BASE {(1,0) , (0,1)}
           • 2*(1,0)+3*(0,1)
         • Na BASE {(1,0),(1,1)}
           • (2,3)=a(1,0)+b(1,1)
             • B=3
             • A=-1
     • DEVE SER LI E GERAR O CONJUNTO
       • Ex: Para saber que um conjunto é base de outro, primeiro defino se é L.i depois vejo se pra qualquer vetor do conjunto pode ser escrito como a combinação linear deste conjutno

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