Matrizes

Matrizes

1. Matriz Linha

   • Possui apenas 1 linha.
     • Ex: [2 -3 5]₁×₃

2. Matriz Coluna

   • Possui apenas 1 coluna.
     • Ex: [4]₂×₁ [7] [-1]

3. Matriz Quadrada

   • Número de linhas = número de colunas (m = n).
     • Ex: [1 2]₂×₂ [3 4]

4. Matriz Identidade

   • Matriz quadrada onde a diagonal principal é 1 e os demais elementos são 0. Representada por In.
     • Ex: I₂ = [1 0] [0 1]

5. Matriz Nula

   • Todos os elementos são iguais a zero. Representada por 0.
     • Ex: [0 0 0] [0 0 0]

6. Definição

   • Matriz é uma tabela organizada em m linhas e n colunas. Cada elemento é representado por aij, onde: i = linha (1 ≤ i ≤ m) j = coluna (1 ≤ j ≤ n) Notação: A = [aij]m×n Exemplo: A = [1 2 3] → matriz 1×3 (linha) [4 5 6] → matriz 2×3

7. Operações

   • Transposição:
     • Troca-se linhas por colunas. Se A é m×n, então AT é n×m.
       • Ex: A = [1 2] → AT = [1 3] [3 4] [2 4]
   • Adição:
     • Soma-se os elementos correspondentes (mesma posição). Só é possível se A e B tiverem o mesmo tamanho (mesmo m e n).
       • Ex: [1 2] + [5 6] = [6 8] [3 4] [7 8] [10 12]
   • Produto por Número Real:
     • Multiplica-se cada elemento da matriz pelo número real k.
       • Exemplo com k = 2: 2 · [1 3] = [2 6] [-2 0] [-4 0]. Exemplo com k = -1 (matriz oposta): -1 · [2 -1] = [-2 1] [0 3] [0 -3]. Propriedade: k · (A + B) = k·A + k·B
   • Produto de Matrizes
     • Multiplica-se linha de A por coluna de B, somando os produtos. Só é possível se: nº colunas de A = nº linhas de B. Fórmula: (A·B)ij = Σ aik · bkj
       • Exemplo: A = [1 2] (2×2) B = [5 6] (2×2) [3 4] [7 8] A × B = [1·5 + 2·7 1·6 + 2·8] = [19 22] [3·5 + 4·7 3·6 + 4·8] [43 50]

8. Aplicações na Computação

   • Processamento de Imagens
     • Cada pixel é um elemento de uma matriz (níveis de cinza ou RGB). Filtros como desfoque, nitidez e detecção de bordas usam convolução (multiplicação de matrizes) para transformar a imagem. Ex: matriz 1920×1080 = tela Full HD.
   • Redes Neutrais
     • Os pesos das conexões entre neurônios são armazenados em matrizes. O cálculo da saída de uma camada é um produto matriz-vetor (forward propagation). No backpropagation, usamos transposição de matrizes para ajustar os pesos. Ex: camada com 256 entradas e 128 neurônios → matriz 256×128.
   • Grafos e Pagerank
     • Matriz de adjacência representa as conexões entre vértices (ex: páginas web, servidores, redes sociais). O algoritmo PageRank do Google usa multiplicação sucessiva de matrizes para calcular a relevância de cada página. Ex: matriz n×n onde n = número de páginas.