CASTOR

CASTOR

1. PABLO SÁEZ SANTOS

2. 1.MATRIZ

   • -La matriz tiene tamaño o dimensión "mxn." -Es una tabla de números reales ordenados que consta de "m" filas y "n" columnas. -A dichos números se les llama "elementos" de una matriz. -Todo elemento se denota como "aij" donde el subíndice "i" son las filas y la "j" son las columnas.

3. 2.TIPOS DE MATRICES

   • MATRIZ FILA
     • Tiene solo una fila
   • MATRIZ COLUMNA
     • Tiene solo una columna
   • MATRIZ CUADRADA
     • -Tiene el mismo número de filas que de columnas. -Se suele decir que es de orden n -EJEMPLO: Hay una matriz 2x2, es de orden 2
   • MATRIZ NULA
     • Compuesta por todo ceros
   • MATRICES CUADRADAS
     • MATRIZ DIAGONAL
       • Matriz cuadrada que es todo ceros excepto la diagonal principal
     • MATRIZ ESCALAR
       • Es una matriz diagonal y su diagonal principal es toda el mismo número (excepto 0)
     • MATRIZ UNIDAD o IDENTIDAD
       • Es la matriz escalar donde todos los elementos no nulos son 1 -Se representa como " I "
     • MATRIZ TRIANGULAR
       • Puede ser: -Superior (M. cuadrada en la que todos los elementos de arriba de la diagonal son 0) -Inferior (M. cuadrada en la que todos los elementos de abajo de la diagonal son 0)
     • MATRIZ SIMÉTRICA
       • Matriz cuadrada que cumple aij=aji
   • MATRIZ OPUESTA
     • Es la matriz normal cambiada de signo en cada uno de los elementos

4. 3.OPERACIONES DE MATRICES

   • 3.1 TRASPOSICIÓN DE MATRICES
     • Dada una matriz A=(aij), se llama traspuesta de A a la matriz que se obtiene de intercambiar filas por columnas. 𝐀𝐭 = (𝐚𝐣𝐢)
   • 3.2 SUMA DE MATRICES
     • Dadas dos matrices A=(aij) y B=(bij), ambas de dimensiones mxn, se define la suma A+B=(aij+bij) como la matriz obtenida sumando los elementos de A y B que ocupan la misma posición. 
   • 3.3 PRODUCTO DE UN NÚMERO POR UNA MATRIZ
     • Dada la matriz A=(aij) y el número real x, se llama matriz producto x.A a la que resulta de multiplicar cada elemento de A por dicho número real.
     • PROPIEDADES: Es distributiva respecto a la suma de matrices: x.(A+B)=x.A+x.B Es distributiva respecto a la suma de números: (x+y).A=x.A+y.A Es asociativa: x.(y.A) = (x.y).A Tiene elemento unidad: 1.A = A

5. 4. IGUALDAD DE MATRICES

   • Dos matrices A=(aij) y B=(bij), de dimensiones mxn y pxq son iguales si, en primer lugar: m=p , n =q ; y en segundo lugar aij=bij para cualquier par i,j.

6. 5. PRODUCTO DE MATRICES

   • -A x B no es igual a B x A El producto de 2 matrices no es conmutativo. -Solo se pueden multiplicar cuando tienen la matriz primera las mismas columnas que filas la matriz segunda. Además la matriz solución tendrá las mismas filas de la primera matriz y las mismas columnas de la segunda. -Se multiplican filas de la matriz 1 por columnas de la matriz 2
   • PROPIEDADES: -Asociativa: A.(B.C) = (A.B).C -No es conmutativa: A.B ≠ B.A -Tiene elemento neutro (La matriz unidad, I). -Distributiva respecto a la suma: A.(B+C) = A.B+A.C -Elemento inverso: Sólo las cuadradas pueden tenerlo, y no siempre. 

7. 6. POTENCIA DE UNA MATRIZ

   • -Solo existen potencias de matrices cuadradas. -Demostración de un ejemplo en la foto adjuntada

8. 7. MATRIZ INVERSA

   • Dada una matriz cuadrada A de orden n, se llama matriz inversa de A aquella que cumple, si es que existe : A . A– 1 = A– 1 . A = I , siendo I la matriz identidad. 
   • PROPIEDADES: -La inversa de la inversa es la matriz dada. -La inversa de un producto (si existe) es el producto de las inversas (si existen). -La transpuesta de una matriz inversa es la inversa (si existe) de la matriz transpuesta.
   • 8. CALCULO DE LA MATRIZ INVERSA
     • METODO DIRECTO
       • (METODO QUE NO VAMOS A USAR) -Como la inversa de A por A = I , hacemos el producto de matrices e identificamos elementos, quedándonos un sistema de x ecuaciones con x incógnitas que hay que resolver y decir cuanto vale cada una para sacar la matriz inversa. -Si el sistema es incompatible, entonces no existe la matriz inversa.
     • METODO DE GAUSS-JORDAN
       • -Se coloca la matriz A y a su lado la matriz I separadas por una raya vertical. A continuación, se procede a efectuar sobre las filas de A con el metodo de gauss una serie de operaciones elementales, las mismas y al mismo tiempo que sobre las filas de la matriz I. Cuando, actuando así, hemos logrado transformar la matriz A en la I, la matriz de la derecha será la inversa de A. Es decir: (A | I) →las mismas operaciones en ambas → ( I | inversa de A)
       • Pasos: 1. Transformar los elementos de debajo de la diagonal a 0. 2. Transformar los elementos de encima de la diagonal a 0. 3. Multiplicar cada fila por el número que corresponda para transformar la diagonal en 1.

9. 9. COMBINACIONES LINEALES

   • -Una combinación lineal (C.L.) de varias filas o columnas de una matriz, es el resultado de multiplicar cada una por un número y después sumarlas. -Puede ser linealmente independiente o dependiente. -Varias filas o columnas son linealmente dependientes (L.D.) cuando alguna de ellas se puede poner como C.L. de las otras. -Varias filas o columnas son linealmente independientes (L.I.) cuando ninguna de ellas se puede poner como C.L. de las otras.

10. 10. RANGO DE UNA MATRIZ

    • Llamamos rango de una matriz al máximo número de filas que son linealmente independientes. TEOREMA DEL RANGO En una matriz el número de filas linealmente independientes siempre coincide con el número de columnas linealmente independientes. El rango de una matriz es el máximo número de filas o de columnas linealmente independientes. Este máximo número es llamado rango de A, que se expresa como Rg(A).
    • POR METODO GAUSS
      • La forma más adecuada de determinar el rango de una matriz es convertirla en una matriz escalonada equivalente mediante el Método de Gauss. Este método nos permitirá saber el rango de una matriz, además, nos dará una matriz equivalente con la que trabajaremos más cómodamente.

11. 11. DETERMINANTE DE UNA MATRIZ CUADRADA

    • A toda matriz cuadrada de orden 𝑛, se le asocia un número real llamado determinante de A, que se denota como: det 𝐴 o bien |𝐴|

12. 12. MATRIZ INVERSA MEDIANTE DETERMINANTES

    • Dada una matriz cuadrada 𝐴 con |𝐴| ≠ 0, su matriz inversa se calcula con la fórmula: inversa de A  = 1 / |𝐴| ⋅ Adj 𝐴 transversa -Procedimiento: 1. Calcular el determinante |𝐴|. Si |𝐴| = 0, la matriz no tiene inversa. 2. Calcular la matriz de adjuntos Adj 𝐴 . 3. Trasponer la matriz de adjuntos: Adj 𝐴 transpuesta 4. Dividir cada elemento entre el valor de |𝐴|

13. 13. RANGO CON DETERMINANTES

    • -Menor de orden 𝑘: Determinante formado por la intersección de 𝑘 filas y 𝑘 columnas de una matriz. -Definición de Rango: El rango de una matriz es el orden del mayor menor no nulo que se puede extraer de ella. -Método de Orlado: ▪ Paso 1: Buscar un elemento distinto de cero ⟹ Rg 𝐴 ≥ 1. ▪ Paso 2: Buscar un menor de orden 2 no nulo ⟹ Rg 𝐴 ≥ 2. ▪ Paso 3 (Orlar): Añadir una fila y una columna a ese menor de orden 2 para formar menores de orden 3. -Si todos los menores de orden 3 orlados son 0 ⟹ Rg 𝐴 = 2. -Si al menos uno es diferente de 0 ⟹ Rg 𝐴 ≥ 3 Regla práctica: ▪ Si encontramos un menor de orden 𝑘 distinto de cero ⟹ Rg 𝐴 ≥ 𝑘. ▪ Si todos los menores de orden 𝑘 + 1 son cero ⟹ Rg 𝐴 = 𝑘.

14. 14. RANGO CON PARÁMETROS

    • Mediante el metodo de determinantes. -Empezamos con el método de Orlado hasta encontrar un menor con parametro. -Tras encontrarlo, coger el menor más grande que contenga al parámetro y resolverlo para que me de una ecuación y realizar esta. -Con cada solución obtenida hacemos determinante para obtener el rango con cada valor.

Bilder und Dateien der Mindmap