T1 MAT/DET

T1 MAT/DET

1. Darío Morejón de la Cal

   • Matrices
     • Definición
       • Es una tabla de números reales ordenados que consta de m filas y n columnas.
     • Tipos
       • M fila
         • Aquella que consta sólo de una fila.
       • M columna
         • Que consta sólo de una columna.
       • M cuadrada
         • Aquella que consta de igual número de filas que de columnas. Si es nxn se dice que es de orden ‘n’.
       • M nula
         • Cuyos elementos son todos ceros.
       • M diagonal
         • Es la matriz cuadrada cuyos elementos son todos ceros, excepto los de la diagonal principal.
       • M escalar
         • Es una matriz diagonal donde los elementos de la diagonal principal son todos iguales (y distintos de cero).
       • M unidad
         • Es la matriz escalar donde todos los elementos no nulos son 1. Se representa por I.
       • M triangular
         • Es aquella matriz cuadrada es la que todos los elementos por encima (o por debajo) de la diagonal principal son nulos.
       • M simétrica
         • Es aquella matriz cuadrada es la que se cumple: aij = aji
     • Transposición
       • Dadauna matriz A=(aij), se llama traspuesta de A ala matriz que se obtiene de intercambiar filas por columnas.
     • Operaciones
       • Suma
         • Dadas dos matrices A=(aij) y B=(bij), ambas de dimensiones mxn, se define la suma A+B=(aij+bij) como la matriz obtenida sumando los elementos de A y B que ocupan la misma posición. 
       • Producto de un nº por una matriz
         • Dada la matriz A=(aij) y el número real x, se llama matriz producto x.Aa la que resulta de multiplicar cada elemento de A por dicho número real.
       • Igualdad
         • Dos matrices A=(aij) y B=(bij), de dimensiones mxny pxqson iguales si, en primer lugar: m=p , n =q ; y en segundo lugar aij=bijpara cualquier par i,j.
       • Producto
         • Dadas dos matrices A y B de tamaño mxn y nxp respectivamente, dos matrices en que el nº de columnas de la 1ª coincide con el nº de filas de la 2ª, se llama matriz producto A.B a una nueva matriz en la que el elemento de lugar (i,j) se obtiene multiplicando la matriz fila i de A por la matriz columna j de B.   El resultado es una matriz de tamaño mxp
         • Propiedades
           • Asociativa: A.(B.C) = (A.B).C    No es conmutativa: A.B ≠B.A   Tiene elemento neutro (La matriz unidad, I).   Distributiva respecto a la suma: A.(B+C) = A.B+A.C   Elemento inverso: Sólo las cuadradas pueden tenerlo, y no siempre. 
       • Potencia
         • 2= A.A   A3= A2 .A   A4= A3 .A   An= An– 1 . A
     • M inversa
       • Dada una matriz cuadrada A de orden n, se llama matriz inversa de A aquella que cumple, si es que existe : A . A– 1 = A–1. A = I , siendo I la matriz identidad. 
       • Propiedades
         • La inversa de la inversa es la matriz dada. La inversa de un producto (si existe) es el producto de las inversas (si existen). La transpuesta de una matriz inversa es la inversa (si existe) de la matriz transpuesta. Si A.X = B, siendo A una matriz cuadrada, entonces: X = A-1. B                                              
       • Cálculo
         • Método directo
         • Método de Gauss-Jordan
           • Se coloca la matriz A y a su lado la matriz I separadas por una raya vertical de puntos. A continuación, se procede a efectuar sobre las filas de A una serie de operaciones elementales, las mismas y al mismo tiempo que sobre las filas de la matriz I. Cuando, actuando así, hemos logrado transformar la matriz A en la I, la matriz de la derecha, que es la I transformada, será la inversa de A. Es decir: (A | I) →las mismas operaciones en ambas → ( I | A–1
     • Combinaciones lineales
       • Una combinación lineal (C.L.) de varias filas o columnas de una matriz, es el resultado de multiplicar cada una por un número y después sumarlas.   Varias filas o columnas son linealmente dependientes (L.D.) cuando alguna de ellas se puede poner como C.L. de las otras.   Varias filas o columnas son linealmente independientes (L.I.) cuando ninguna de ellas se puede poner como C.L. de las otras.
     • Rango
       • Llamamos rango de una matriz al máximo número de filas que son linealmente independientes.  TEOREMA DEL RANGO: En una matriz el número de filas linealmente independientes siempre coincide con el número de columnas linealmente independientes. El rango de una matriz es el máximo número de filas o de columnas linealmente independientes. Este máximo número es llamado rango de A, que se expresa como Rg(A).
       • Por Gauss
         • La forma más adecuada de determinar el rango de una matriz es convertirla en una matriz escalonada equivalente mediante el Método de Gauss. Este método nos permitirá saber el rango de una matriz, y lo que es más interesante aún, nos dará una matriz equivalente con la que trabajaremos más cómodamente.
   • Determinantes
     • De una matriz cuadrada
       • A toda matriz cuadrada 𝐴= 𝑎𝑖𝑗 de orden 𝑛, se le asocia un número real llamado determinante de A, que se denota como: det𝐴 obien |𝐴|
       • Orden 2
       • Orden 3
       • Propiedades
         • 1. |𝐴|=|𝐴𝑡|(El determinante de una matriz coincide con el de su traspuesta).  2.Si una matriz tiene una fila o columna de ceros, su determinante es 0.  3.Si una matriz tiene dos filas o columnas iguales o proporcionales, su determinante es 0. 4.Intercambio de líneas 5.Combinación lineal 6.Multiplicación por un escalar 7.Multiplicación de toda la matriz por un escalar 8. Operaciones elementales 9.Producto de matrices 10.Criterio de existencia de inversa
       • Menor
         • Menor complementario y adjunto de un elemento ▪ Menor complementario (𝑀𝑖𝑗):Es el determinante de la submatriz que resulta de eliminar la fila 𝑖y la columna 𝑗de la matriz original. ▪ Adjunto (𝐴𝑖𝑗):Es el menor complementario precedido del signo −1 𝑖+𝑗: 𝐴𝑖𝑗=−1 𝑖+𝑗 ⋅𝑀𝑖𝑗 ▪ Signos de la matriz de adjuntos (3×3):  + − + − + − + − +
     • M Inversa por determinantes
       •  Dada una matriz cuadrada 𝐴con |𝐴|≠0, su matriz inversa se calcula con la fórmula: 𝐴−1= 1/ |𝐴| ⋅ Adj𝐴 𝑡  Procedimiento:  1. Calcular el determinante |𝐴|. Si |𝐴|=0, la matriz no tiene inversa. 2. Calcular la matriz de adjuntos Adj𝐴.  3. Trasponer la matriz de adjuntos: Adj𝐴 𝑡 .  4. Dividir cada elemento entre el valor de |𝐴|.
     • Rango por determinantes(regla de orlado)
       •  Menor de orden 𝑘:Determinante formado por la intersección de 𝑘filas y 𝑘columnas de una matriz.  Definición de Rango:El rango de una matrizes el orden del mayor menor no nulo que se puede extraer de ella.   Método de Orlado:  ▪ Paso 1:Buscar un elemento distinto de cero ⟹Rg𝐴 ≥1.  ▪ Paso 2:Buscar un menor de orden 2 no nulo ⟹Rg𝐴 ≥2.  ▪ Paso 3 (Orlar):Añadir una fila y una columna a ese menor de orden 2 para formar menores de orden 3.   Si todoslos menores de orden 3 orlados son 0 ⟹Rg𝐴 =2.   Si al menos uno es diferente de 0 ⟹Rg𝐴 ≥3.
       • Regla práctica
         • ▪ Si encontramos un menor de orden 𝑘distinto de cero ⟹Rg𝐴 ≥𝑘.  ▪ Si todos los menores de orden 𝑘+1son cero ⟹Rg𝐴 =𝑘.

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