Probabilidade

Probabilidade

1. Experimento Aleatório

   • Experimento que, mesmo repetido diversas vezes sob as mesmas condições, apresenta resultados imprevisíveis. Ex.: lançar uma moeda e observar o resultado; selecionar uma carta de um baralho de 52 cartas e observar seu naipe; etc.
   • Resultados Imprevisíveis

2. Espaço Amostral

   • É o conjunto dos resultados possíveis de um experimento aleatório. Designaremos por "S". Ex.: Experimento aleatório de lançar um dado e observar a face de cima. S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} n(S) = 6 Saber determinar o Espaço Amostral S de um experimento aleatório e conhecer o número de elementos desse espaço amostral n(S) é meio caminho andado para acertarmos a questão de Probabilidade.
   • Resultados Possíveis

3. Evento

   • Ocorreu um evento A quando o resultado do Experimento Aleatório for pertencente ao subconjunto A. Um evento será um subconjunto do Espaço Amostral. Ex.: Experimento Aleatório: lançar um dado e observar a face para cima. Espaço Amostral: S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} Evento A: obter um resultado par no lançamento do dado: A = {2, 4, 6}; n(A) = 3 Evento B: obter um resultado menor que 4 no lançamento do dado: B = {1, 2, 3}; n(B) = 3 Evento C: obter um resultado maior que 6 no lançamento do dado: C = { }; n(C) = 0 Nesse caso, estamos diante de um "evento impossível". Evento D: obter um resultado menor que 7 no lançamento do dado: D = {1, 2, 3, 4, 5, 6}; n(D) = 6 Nesse caso, estamos diante de um "evento certo".
   • Conhecer o número de elementos do conjunto Evento é o segundo passo para a resolução de uma questão de probabilidade.
   • Subconjunto do Espaço Amostral

4. Axiomas da Probabilidade

   • A probabilidade de ocorrência do Espaço Amostral é igual a 1
     • Prob(S) = 1.
   • A soma das probabilidades de cada elemento do espaço amostral é igual a 1
     • Ex.: Em um lançamento de um dado, ao observarmos a face voltada para cima poderemos ter os seguintes resultados: Espaço Amostral: S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. A soma da probabilidade do Evento "face voltada para cima ser 1", com o Evento "face voltada para cima ser 2", com os Eventos 3, 4, 5 e 6 é 1. Prob(1) + Prob(2) + Prob(3) + Prob(4) + Prob(5) + Prob(6) = 1.
   • A probabilidade SEMPRE será um número real entre 0 e 1
   • A probabilidade de ocorrência do evento vazio é zero
   • A probabilidade de um evento qualquer será igual a probabilidade do Espaço Amostral menos a probabilidade do seu evento complementar
     • Prob(A) = 1 - Prob(não A).

5. Fórmula Elementar da Probabilidade

   • Ex.: Espaço Amostral: Baralho de 52 cartas. Evento A: extrair uma carta de naipe ouros. Prob(A) = n(A) / n(S) n(S) = 52 n(A) = 13 Prob(A) = 13 / 52 = 0,25 = 25%. Ex.: Espaço Amostral: 20 números inteiros de 1 à 20. Evento A: Escolher um número e ele ser par. Prob(A) = n(A) / n(S) n(S) = 20 n(A) = 10 Prob(A) = 10 / 20 = 0,5 = 50%
   • Ex.: Espaço Amostral: uma urna com 6 bolas pretas, 2 brancas e 10 amarelas. Evento A: escolher uma bola ao acaso, e ela não ser amarela. Prob(A) = n(A) / n(S) n(S) = 18 n(A) = 8 Prob(A) = 8/18 = 0,444 = 44,4%.

6. Probabilidade da Intersecção de Eventos (Regra do "e")

   • Dados dois eventos, A e B, a probabilidade de ocorrência simultânea dos eventos A e B é igual a: Prob(A e B) = Prob(A) x Prob(B|A) onde: Prob(B|A) = Probabilidade de ocorrer B sabendo que A já tenha ocorrido.
   • Eventos Independentes
     • Ou seja, a ocorrência de um deles não afeta a probabilidade de ocorrência do outro. Ex.: Espaço Amostral: lançamento de uma moeda duas vezes. Evento A: o primeiro resultado ser "cara". Evento B: o segundo resultado ser "coroa". O primeiro evento não afeta a ocorrência do segundo evento. Portanto: Prob(A e B) = Prob(A) x Prob(B).
   • Eventos Mutuamente Exclusivos
     • Ou seja, eventos que não podem ocorrer simultaneamente. Em termos de conjunto: A intersecção B = vazio. Logo: Prob(B|A) = 0. Ex.: Espaço Amostral: o nascimento de uma criança. Evento A: nascer menino. Evento B: nascer menina. O evento A e o evento B são mutuamente exclusivos. Portanto, Prob(A e B) = 0.
   • Outros Eventos
     • Nesse caso, aplica-se a regra Prob(A e B) = Prob(A) x Prob(B|A). Ex.: Espaço Amostral: Uma urna com 4 bolas brancas e 6 vermelhas. Evento A: retirada de uma bola branca sem reposição. Evento B: retirada de uma bola branca após a ocorrência do evento A. Prob(A e B) = Prob(A) x Prob(B|A) Prob(A) = n(A) / n(S) n(A) = 4 n(S) = 10 Prob(A) = 4 / 10 Prob(B|A) = n(B|A) / n(S B|A) n(B|A) = 3 n(S B|A) = 9 Prob(B|A) = 3 / 9 Prob(A e B) = 4 / 10 x 3 / 9 = 2 / 5 x 1 / 3 = 2 / 15.

7. Probabilidade da União de Eventos

   • Dados dois eventos, A e B, a probabilidade de ocorrência do evento A ou do evento B é igual à: Prob(A ou B) = Prob(A) + Prob(B) - Prob(A e B) Ex.: Espaço Amostral: um dado e uma moeda. Evento A: ao lançar o dado, observar um número ímpar na face voltada para cima. Evento B: ao lançar a moeda, observar o resultado "coroa". Prob(A ou B) = Prob(A) + Prob(B) - Prob(A e B). Os eventos A e B são Eventos Independentes. Logo, Prob(A e B) = Prob(A) x Prob(B). Prob(A) = n(A) / n(SA) n(A) = 3 n(SA) = 6 Prob(A) = 3 / 6 = 1 / 2 Prob(B) = n(B) / n(SB) n(B) = 1 n(SB) = 2 Prob(B) = 1 / 2 Prob(A e B) = 1 / 2 x 1 / 2 = 1 / 4 Prob(A ou B) = 1 / 2 + 1 / 2 - 1 / 4 = 1 - 1 / 4 = 3 / 4 = 75%.

8. Situações Excludentes e Árvore de Probabilidades

   • Situações Excludentes
     • Obs.: Situações Excludentes é diferente de Eventos Independentes. Em Situações Excludentes temos dois eventos que  não podem ocorrer juntos. Ex.: Qual a probabilidade de o cão estar vivo e o cão estar morto? Evento Impossível!!! Pois são Situações Excludentes!Em Eventos Independentes temos dois eventos que podem ocorrer juntos e que a ocorrência de um deles não afeta a probabilidade do outro evento ocorrer.  Ex.: Qual a probabilidade de o cão estar vivo e o gato estar morto? O Evento "cão estar vivo" não afeta o evento "gato estar morto".
     • As duas situações formam o Espaço Amostral
       • Ou seja, essas duas situações são os únicos eventos possíveis desse Espaço Amostral. Com isso, o Experimento Aleatório somente terá um ou outro Evento. Ex.: A probabilidade de um gato estar vivo daqui a 5 anos é 3/5. Logo, a Situação Excludente é o Evento "o gato estar morto daqui a 5 anos", com probabilidade 2/5.
   • Árvore de Probabilidades
     • Ex.: Um juiz de futebol possui três cartões no bolso. Um é todo amarelo, o outro é todo vermelho e o terceiro é vermelho de um lado e amarelo do outro. Num determinado jogo, o juiz retira, ao acaso, um cartão do bolso e mostra, também ao acaso, uma face do cartão a um jogador. Assim, a probabilidade de a face que o juiz vê ser vermelha e de a outra face, mostrada ao jogador, ser amarela é igual a: ÁRVORE DE PROBABILIDADES!!!
     • O resultado que encontramos é o caminho de probabilidade e representa a ocorrência dos dois eventos que compõem este caminho.
     • Em uma Árvore de Probabilidades, os eventos são Mutuamente Exclusivos, ou seja, Prob(A e B) = 0, pois Prob(B|A) = 0.
   • Probabilidade Condicional
     • "Qual a probabilidade de ocorrência de um evento A, dado que sabemos que ocorreu um evento B?"
     • Ex.: Há apenas dois modos, mutuamente excludentes, de Genésio ir para Genebra participar de um congresso: ou de navio ou de avião. A probabilidade de Genésio ir de navio é de 40% e de ir de avião é de 60%. Se ele for de navio, a probabilidade de chegar ao congresso com dois dias de atraso é de 8,5%. Se ele for de avião a probabilidade de chegar ao congresso com dois dias de atraso é de 1%. Sabe-se que Genésio chegou com dois dias de atraso para participar do congresso em Genebra. A probabilidade de ele ter ido de avião é:

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