Números Imaginarios y Complejos

Números Imaginarios y Complejos

1. Adicion

   • Para sumar numeros complejos se suman las partes reales y las partes imaginarias, respectivamente
     • Dado z1= a+bi y z2= c+di entonces, z1+z2= (a+c) + (b+d)i

2. Sustraccion

   • Para la resta numeros complejos se restan las partes reales y las partes imaginarias, respectivamente
     • Dado z1= a+bi y z2= c+di entonces, z1-z2= (a-c)+(b-d)i

3. Multiplicacion

   • Para multiplicar mumeros complejos se aplica la propiedad distributiva de la adicion con respecto a la multiplicacion, teniendo presente que i elevado a 2 es -1
     • Dado z1= a+bi y z2= c+di entonces, z1*z2= (a+bi)*(c+di)= ac+adi+bci+bdi elevado a 2= ac+adi+bci-bd= (ac-bd)+(ad+bc)i

4. División

   • Para dividir numeros complejos se aplica el producto entre el numero complejo dado y su inverso aditivo
     • Dado z1= a+bi y z2= c+di entonces, seria a+bi/c+di * c-di/ c-di

5. Los números complejos son aquellos que forman un grupo de dígitos que resultan de la adición que se realiza entre un número real y un número imaginario. Es importante saber que el número real es el número que puede ser expresado por medio de un número entero, por ejemplo, 5, 28, 21; y el número imaginario es el número cuyo cuadrado se presenta en forma negativa. Son representados por dos números que se colocan entre paréntesis (x y y).

6. Potencias de i:

   • La unidad imaginaria se puede multiplicar por ella misma como cualquier número real, obteniéndose entonces lo que se llaman las potencias de la unidad imaginaria.
     • i elevado a 0 = 1
     • i elevado a 2 = -1
     • i elevado a 3 = i
     • i elevado a 4 = 1
     • i elevado a 1 = raíz de -1
     • va aumentando en 4 los exponentes y el numero se mantiene
     • Un número imaginario se denota por bi, donde : b es un número real i es la unidad imaginaria:
       • Para calcular cuánto vale una determinada potencia de i, se divide el exponente entre 4, y el resto es el exponente de la potencia equivalente a la dada.

7. Modulo:

   • Es la distancia entre el punto inicial y el punto final de la flecha o vector que determina al numero complejo representado en el plano de Argand.
     • Plano de Argand
       • IzI= raiz de a elevado a 2 + b elevado a 2
         • Es un plano en donde se puede organizar y ubicar numeros complejos
   • Representación Grafica
     • Los números complejos se representan en unos ejes cartesianos. El eje X se llama eje real y el Y, eje imaginario. El número complejo a + bi se representa:
       • 1Por el punto (a,b), que se llama su afijo
         • 2 Mediante un vector de origen (0, 0) y extremo (a, b).
           • Los afijos de los números reales se sitúan sobre el eje real, X. Y los imaginarios sobre el eje imaginario, Y.

8. Forma canonica o binominal

   • Un número complejo en forma binómica es a + bi. El número a es la parte real del número complejo. El número b es la parte imaginaria del número complejo. Si b = 0 el número complejo se reduce a un número real, ya que a + 0i = a. Si a = 0 el número complejo se reduce a bi, y se dice que es un número imaginario puro. El conjunto de los números complejos se designa por C .
   • Los números complejos a + bi y −a − bi se llaman opuestos. Los números complejos z = a + bi y z = a − bi se llaman conjugados. Dos números complejos son iguales cuando tienen la misma componente real y la misma componente imaginaria.