MATRICES Y DETERMINANTES

MATRICES Y DETERMINANTES

1. ¿ Qué son?

   • Una matriz de m fila y n columnas es una tabla de m x n números reales ordenados en m filas y n columnas
     • Al número real de una matriz "a" se le añaden los subíndices i y j, representando i la el n de la fila, y j el n de la columna

2. Productos de matrices

   • El producto de una matriz A, de dimensión m x n, por otra matriz B, de dimensión n x p, es otra matriz , C, de dimensión m x p, cuyo elemento cij se obtiene al multiplicar la fila i-ésima de la peimera matriz poe la columna j-ésima de la segunda.
     • A*B =C, siendo cij= ai1* b1j+ aj2* b2j+...+ aim* bmj

3. Propiedades del producto de matrices

   • Asociativa: (A*B) * C = A*(B*C)
     • Elemento Neutro: Im * A = A * In = A
       • Distributiva
         • Por la Izquierda: A* (B+C) = A * B +A * C
         • Por la Derecha: ( B + C) * A = B * A + C * A

4. La regla de sarrus para calcular el determinante

   • dada la matriz 2x2
     • a b c d
       • hacemos a*d - d*c
       • dada la matriz 3x3
         • a b c d e f g h i
           • hacemos: a*e*i + b*f*g + d*h*c - c*e*g + d*b*i + a*h*f

5. El rango de una matriz

   • El rango de una matriz A al número de filas o columnas linealmente independientes.
     • Se puede calcular a través de Gauss o por determinantes
       • A través de Gauss convertimos la matriz inicial en una matriz cuyos elementos por debajo de la diagonal sean ceros, utilizando las transformaciones elementales adecuadas

6. Matriz inversa

   • A ^- 1 = 1/A * Adj(A)^ t
     • Sirve para identificar S.C.I
       • La matriz adjunta es aquella que cada elemento se sustituye por el adjunto, el e. Adjunto es aquel elemento a (ij) al menor complementario anteponiend. El signo es + si i+j es par

7. Peopiedades de los determinantes

   • El determinante de una matriz coincide con el de su traspuesta
     • Si en una matriz cuadrada intercambiamos dos de sus filas o columnas el determinante cambia de signo
       • Si en una matriz cuadrada multiplicamos poe un mismo número todos los elementos de una misma fila o columna, su determinante queda multiplicado por ese número
         • Si una matriz cuadrada tiene una fila o columna de ceros, su determinante = 0
           • Si una fila o columna de una matriz cuadrada le sumamos una combinación lineal de las demás , su determinante no varia
             • Si una matriz cuadrada tiene dos filas o columnas iguales, su determinante es cero
               • Si una matriz cuadrada tiene una fila o columna que es combinación lineal de las demás, su determinante es 0
                 • El determinante del producto de dos matrices es igual al producto de sus determinantes

8. Matriz traspuesta

   • La matriz traspuesta se representa como A ^t, si la matriz A es de dimensión m x n, la matriz traspuesta A^t tendrá de dimensiones n x m, ya que las columnas pasan a ser filas y las filas pasan ha ser columnas incluyendo sus valores
   • Una matriz es simétrica cuando A = A^t y una matriz es antisimétrica cuando A =/= A ^t

9. ¿Qué tipos hay?

   • Matriz fila: aquella que tiene una sola fila
   • Matriz nula/ cero: Todos los elementos de la matriz son ceros
     • Matriz columna. aquella que tiene una sola columna
   • Matriz Rectangular sus dimensiones (n x m) son diferentes entre sí.
   • Matriz cuadrada: Aquella matriz que sus dimensiones son n x n, es decir el número de columnas es el mismo que el de fila
     • Tipos de matrices cuadradas
       • Matriz triangular superior: Todos los elementos por debajo de la diagonal principal son cero
       • Matriz triangular inferior: Todos los elementos situados por encima de la diagonal principal son ceros
       • Matriz diagonal.: Todos los elementos situados fuera de la diagonal principal son cero
       • Matriz de identidad / Unidad: La diagonal principal vale 1 y el resto de valores 0

10. Sus propiedades

    • Conmutativa: A+ B = B + A
    • Asociativa: A + ( B + C) = ( A + B) + C
    • Elemento neutro: El elemento neutro del a suma es la matriz nula: A + 0 = A
    • Elemento opuesto: Para la matriz A, existe su matriz opuesta, -A, formada por los opuestos de los elementos de A

11. Producto de una matriz por número

    • El producto de un número real K por una matriz A esotra matriz de la misma dimensión que A cuyos elementos se obtienen al multiplicar cada uno de los elementos de A por K
      • Si una matriz es diagonal y todos los elementos de la diagonal son iguales podemos sacar factor común

12. Integrantes: Leorianny Useche 19 Roimar Ollarvides 28 5to "C"