Zusammenfassung der Ressource
MATRICES Y DETERMINANTES
- ¿ Qué son?
- Una matriz de m fila y n columnas es
una tabla de m x n números reales
ordenados en m filas y n columnas
- Al número real de una matriz "a" se le añaden los subíndices i y j,
representando i la el n de la fila, y j el n de la columna
- Productos de
matrices
- El producto de una matriz A, de dimensión m x n,
por otra matriz B, de dimensión n x p, es otra matriz ,
C, de dimensión m x p, cuyo elemento cij se obtiene al
multiplicar la fila i-ésima de la peimera matriz poe la
columna j-ésima de la segunda.
- A*B =C, siendo cij= ai1* b1j+ aj2* b2j+...+ aim* bmj
- Propiedades del producto de
matrices
- Asociativa: (A*B) * C = A*(B*C)
- Elemento Neutro: Im * A = A * In = A
- Distributiva
- Por la Izquierda: A* (B+C) = A * B +A * C
- Por la Derecha: ( B + C) * A = B * A + C * A
- La regla de sarrus para calcular el
determinante
- dada la matriz 2x2
- a b
c d
- hacemos a*d - d*c
- dada la matriz 3x3
- a b c
d e f
g h i
- hacemos: a*e*i + b*f*g + d*h*c - c*e*g + d*b*i + a*h*f
- El rango de una matriz
- El rango de una matriz A al número de filas o
columnas linealmente independientes.
- Se puede calcular a través de
Gauss o por determinantes
- A través de Gauss convertimos la matriz inicial en una matriz
cuyos elementos por debajo de la diagonal sean ceros, utilizando
las transformaciones elementales adecuadas
- Matriz inversa
- A ^- 1 = 1/A * Adj(A)^ t
- Sirve para identificar S.C.I
- La matriz adjunta es aquella que cada elemento se sustituye por el adjunto, el e. Adjunto es
aquel elemento a (ij) al menor complementario anteponiend. El signo es + si i+j es par
- Peopiedades de los determinantes
- El determinante de una matriz
coincide con el de su traspuesta
- Si en una matriz cuadrada intercambiamos dos de sus
filas o columnas el determinante cambia de signo
- Si en una matriz cuadrada multiplicamos poe un mismo número todos los elementos de
una misma fila o columna, su determinante queda multiplicado por ese número
- Si una matriz cuadrada tiene una fila o columna de ceros, su determinante = 0
- Si una fila o columna de una matriz cuadrada le sumamos una
combinación lineal de las demás , su determinante no varia
- Si una matriz cuadrada tiene dos filas o columnas iguales, su determinante es cero
- Si una matriz cuadrada tiene una fila o columna que es combinación lineal de las demás, su determinante es 0
- El determinante del producto de dos matrices es igual al producto de sus determinantes
- Matriz traspuesta
- La matriz traspuesta se representa como A ^t, si la matriz A es de dimensión m x n, la matriz
traspuesta A^t tendrá de dimensiones n x m, ya que las columnas pasan a ser filas y las filas pasan ha
ser columnas incluyendo sus valores
- Una matriz es simétrica cuando A = A^t y una matriz es
antisimétrica cuando A =/= A ^t
- ¿Qué tipos hay?
- Matriz fila: aquella que tiene una sola fila
- Matriz nula/ cero: Todos los elementos de la matriz son ceros
- Matriz columna. aquella que tiene una sola columna
- Matriz Rectangular sus dimensiones (n x m) son diferentes entre sí.
- Matriz cuadrada: Aquella matriz que sus dimensiones son n x n, es
decir el número de columnas es el mismo que el de fila
- Tipos de matrices cuadradas
- Matriz triangular superior: Todos los elementos por debajo de la diagonal principal son cero
- Matriz triangular inferior: Todos los elementos situados por encima de la diagonal principal son ceros
- Matriz diagonal.: Todos los elementos situados fuera de la diagonal principal son cero
- Matriz de identidad / Unidad: La diagonal principal vale 1 y el resto de valores 0
- Sus propiedades
- Conmutativa: A+ B = B + A
- Asociativa: A + ( B + C) = ( A + B) + C
- Elemento neutro: El elemento neutro del a suma es la matriz nula: A + 0 = A
- Elemento opuesto: Para la matriz A, existe su matriz opuesta, -A, formada
por los opuestos de los elementos de A
- Producto de una matriz por número
- El producto de un número real K por una matriz A esotra matriz de la misma dimensión
que A cuyos elementos se obtienen al multiplicar cada uno de los elementos de A por K
- Si una matriz es diagonal y todos los elementos de la
diagonal son iguales podemos sacar factor común
- Integrantes: Leorianny Useche 19
Roimar Ollarvides 28 5to "C"