INTRODUCCIÓN A LA LÓGICA FORMAL

INTRODUCCIÓN A LA LÓGICA FORMAL

1. PROPOSICIONES

   • SON
     • expresiones del lenguaje
       • SE PUEDE ASIGNAR COMO
         • verdaderas y falsas
           • SE DIFERENCIA DE
             • órdenes y exclamaciones
               • EJEMPLOS
                 • Popayán es la capital del Cauca
                   • Todos los gatos son agresivos
                     • CLASES DE PROPOSICIONES
                       • PROPOSICIÓN SIMPLE
                         • se forma sin utilizar
                           • términos de enlace
                             • SE DETERMINA
                               • calificándola como verdadera o falsa
                                 • SE REPRESENTAN
                                   • con letras minúsculas
                                     • POR EJEMPLO
                                       • p, q, r, s, entre otras
                                         • EJEMPLOS DE PROPOSICIÓN SIMPLE
                                           • p: Bogotá es la capital de Colombia.
                                           • s: 15 es un número primo.
                       • PROPOSICIONES COMPUESTAS
                         • SON AQUELLAS
                           • que están constituidas por dos o mas proposiciones simples
                             • UNIDAS POR
                               • términos de enlace llamados conectores o conectivos lógicos.
                                 • SON
                                   • términos de enlace entre dos o más proposiciones simples
                                     • SE REPRESENTA CON SÍMBOLOS
                                       • EJEMPLOS DE PROPOSICIÓN COMPUESTA
                                         • Este lápiz es mío y este borrador también
                                           • SOLUCIÓN
                                             • El conectivo lógico es “y”
                                         • Si 17 es mayor que 13, entonces, 13 es menor que 17
                                           • SOLUCIÓN
                                             • El conectivo lógico es “si…entonces…”
                                         • Ese jardín no tiene rosas
                                           • SOLUCIÓN
                                             • El conectivo lógico es “no”
                                       • DEFINICIÓN DE CONECTIVOS LÓGICOS
                                         • CONJUNCIÓN
                                           • es la proposición compuesta al enlazar dos o más proposiciones simples mediante el conectivo lógico y.
                                             • Para determinar el valor de verdad de una conjunción se utiliza su tabla de verdad (tabla 1).
                                               • EJEMPLOS
                                                 • p: El oso es mamífero. q: El oso es molusco.
                                                   • SOLUCIÓN
                                                     • ? ∧ ?: El oso es mamífero y molusco.
                                         • DISYUNCIÓN
                                           • es una proposición compuesta formada por dos o más proposiciones simples mediante el conectivo lógico o.
                                             • Para determinar el valor de verdad de una disyunción se utiliza su tabla de verdad (tabla 2)
                                               • EJEMPLOS
                                                 • p: Los insectos son artrópodos. q: Los pájaros son aves
                                                   • SOLUCIÓN
                                                     • ? ∨ ?: Los insectos son artrópodos o los pájaros son aves
                                         • IMPLICACIÓN O CONDICIONAL
                                           • es condicional cuando las proposiciones que la forman están relacionadas con el conectivo lógico si…entonces…, llamado implicación.
                                             • En este caso, la primera proposición se llama antecedente (antes de la flecha) y la segunda proposición se llama consecuente.
                                               • Para determinar el valor de verdad de una implicación se utiliza su tabla de verdad (tabla 3)
                                                 • EJEMPLOS
                                                   • p: La mosca es in insecto. q: La mosca nada en el agua.
                                                     • SOLUCIÓN
                                                       • ? ⟹ ?: Si la mosca es in insecto, entonces, nada en el agua.
                                         • DOBLE IMPLICACIÓN, BICONDICIONAL O EQUIVALENCIA
                                           • es bicondicional cuando cada proposición simple implica a la otra
                                             • Dichas proposiciones están relacionadas con el conectivo lógico …si y sólo si…, llamado equivalencia.
                                               • Para determinar el valor de verdad de una equivalencia se utiliza su tabla de verdad (tabla 4)
                                                 • EJEMPLOS
                                                   • p: San Andrés es una isla. q: San Andrés está rodeada de agua. Solución
                                                     • SOLUCIÓN
                                                       • ? ⟺ ?: San Andrés es una isla, si y sólo si, está rodeada de agua.
                                         • NEGACIÓN
                                           • es el conectivo lógico que permite cambiar el valor de verdad de una proposición.
                                             • ASÍ
                                               • Así, si la proposición ? tiene valor de verdad verdadero, entonces la proposición ~? tiene valor de verdad falso (tabla 5).
                                                 • EJEMPLOS
                                                   • p: Todo número entero es racional. Solución ~?: Algún número entero no es racional.
                                                 • TABLAS DE VERDAD
                                                   • Las tablas de verdad se utilizan para determinar el valor de verdad de proposiciones compuestas
                                                     • EJEMPLO
                                                       • Hallar el valor de verdad de cada proposición compuesta
                                                         • A. (p⇒q) v∼ (p∧q) B. [∼ (m∧n) v n] ⟹m
                                                           • SOLUCIÓN: A
                                                           • SOLUCIÓN: B
                       • PROPORCIONES CON CUANTIFICADORES
                         • es una expresión que permite determinar cantidad en una proposición.
                           • En matemáticas se utilizan como cuantificadores las expresiones todos, algunos, ninguno, ningún, cada, entre otros
                             • La expresión para todo se denomina cuantificador universal
                               • La expresión existe algún se denomina cuantificador existencial
                                 • Para negar una proposición cuantificada se cambia el cuantificador y se niega el predicado
                                   • EJEMPLO
                                     • Negar las siguientes proposiciones cuantificadas y simbolizarlas.
                                       • A. Todos los números naturales son impares. B. Algunos taxis son negros
                                         • SOLUCIÓN: A
                                           • Proposición: todos los números naturales son impares. Simbolización proposición: ∀? ∈ ℕ ∕ ? es impar Negación: existe algún número natural que no es impar. Simbolización negación: ∃? ∈ ℕ ∕ ? no es impar
                                         • SOLUCIÓN: B
                                           • . Proposición: algunos taxis son negros. Simbolización proposición: ∃? ???? ∕ ? es negro Negación: todos los taxis no son negros. Simbolización negación: ∀? ???? ⁄ ? no es negro
                       • PROPORCIONES CATEGÓRICAS
                         • El estudio clásico o aristotélico de la deducción está centrado en argumentos que contienen solamente proposiciones de un tipo especial, llamadas proposiciones categóricas.
                           • El tipo especial se refiere a que las proposiciones pueden ser universales o particulares (afirmativas o negativas)
                             • hay cuatro formas estándar de proposiciones categóricas
                               • SON LAS SIGUIENTES
                                 • PROPORCIÓN CATEGÓRICA UNIVERSAL AFIRMATIVA
                                   • la proposición afirma que la relación de inclusión entre las dos clases es completa, todos los elementos o miembros de S también lo son de P.
                                     • Todas las proposiciones universales afirmativas se pueden escribir simbólicamente así. Todo S es P, donde S representa el sujeto y P el predicado
                                       • EJEMPLO
                                         • Todos los conductores de automóviles que no son seguros son personas temerarias que ponen en peligro la vida de los demás.
                                           • Esta es una proposición universal afirmativa. Se refiere a dos clases:
                                             • a. Conductores de automóviles que no son seguras y b. personas temerarias que ponen en peligro la vida de los demás.
                                               • Y dice que la primera clase está contenida en la segunda, lo cual significa que cada miembro de la primera clase es también miembro de la segunda.
                                                 • En este ejemplo, el termino sujeto conductores, designa a la clase de todos los conductores y el termino predicado temerarias, designa a la clase de todas las personas temerarias.
                       • PROPORCIONES CATEGÓRICA UNIVERSAL NEGATIVA
                         • Todas las proposiciones universales negativas se pueden escribir así:
                           • Ningún S es P, donde S representa el término sujeto y P el término predicado.
                             • La proposición recibe el nombre universal negativo, porque la proposición niega que la relación de inclusión de clase tenga lugar entre las dos clases y lo niega en forma universal: no hay ningún miembro de S que también lo sea de P.
                               • EJEMPLO
                                 • Ningún conductor de automóvil responsable es un peligro para la vida de los demás.
                                   • Esta es una proposición universal negativa. Niega (en forma universal) que los conductores responsables son un peligro para la vida de los demás.
                                     • se hace referencia a dos clases:
                                       • a. Conductor de automóvil responsable b. personas que ponen en peligro la vida de los demás
                                         • La primera clase excluye a la segunda, la excluye totalmente, es decir, que no hay ningún miembro de la primera clase que también pertenezca a la segunda
                       • PROPORCIONES CATEGÓRICAS AFIRMATIVA PARTICULAR
                         • se escribe simbólicamente así:
                           • Algún S es P, lo cual significa que por lo menos un miembro de la clase designada con el término sujeto S también es miembro de la clase designada por el término predicado P.
                             • EJEMPLO
                               • Algunos estudiantes de la secundaria ingresan a la educación superior.
                                 • Este ejemplo afirma que algunos de los miembros de la clase de todos los estudiantes de secundaria son miembros de la clase de estudiantes de universidad
                                   • Pero no afirma esto universalmente: no dice que todos los estudiantes de secundaria (sin excepción) ingresan a la universidad, sino más bien algunos en particular
                                     • Clases:
                                       • a. Estudiantes de secundaria y b. Estudiantes que ingresan a la educación superior
                                         • La palabra “algunos” es indefinida, significa ¿”al menos uno”?, ¿”al menos dos”?
                                           • El nombre afirmativa particular hace referencia a que la proposición afirmativa se cumple en la relación de inclusión entre clases, pero no lo afirma de la primera clase universalmente, solo parcialmente, de algunos miembros particulares de la primera clase.
                       • PROPORCIONES CATEGÓRICAS NEGATIVA PARTICULAR
                         • Algunos números reales no son positivos.
                           • CLASES
                             • a. Números reales y b. Números negativos
                               • el antecedente (algunos números reales) es particular en el sentido que no se refiere universalmente a los números reales, solo a algunos de ellos, algunos miembros de esa clase
                                 • no afirma que los miembros particulares de la primera clase a los que se refiere (números reales) están incluidos en la segunda clase (reales no positivos)
                                   • se escribe en forma simbólica así:
                                     • Algún S no es P. dice que por lo menos un miembro que pertenece a la clase designada por el término sujeto, S, es excluido de la totalidad de la clase designada por el término predicado, P
                       • CUALIDAD Y CANTIDAD DE LAS PROPORCIONES CATEGÒRICAS
                         • Cada proposición categórica de forma estándar tiene una cualidad y una cantidad
                           • SE DIVIDE EN
                             • CUALIDAD AFIRMATIVA O NEGATIVA
                               • es afirmativa o negativa
                                 • según el sujeto, completa o parcialmente, afirme o niegue la inclusión de la clase
                                   • Por lo tanto las proposiciones afirmativas universales y particulares tienen cualidad afirmativa
                                     • en cambio las proposiciones negativas universales y particulares tienen cualidad negativa
                             • CUALIDAD UNIVERSAL O PARTICULAR
                               • es universal o particular según que la proposición se refiera a todos los miembros o solamente a algunos de la clase designada por el término sujeto.
                                 • Así, las proposiciones universales afirmativas o negativas son universales de cantidad y las proposiciones particulares afirmativas o negativas son particulares de cantidad.
                                   • Las proposiciones categóricas en forma estándar que tienen el mismo término sujeto y término predicado
                                     • pueden diferir unas de otras en cualidad o en cantidad o en ambas.
                                       • Existen ciertas relaciones importantes correlacionadas con los diversos tipos de oposición (diferencia en cualidad, cantidad o en ambas) estas pueden ser de CONTRADICCION, CONTINGENCIA, o, SUBCONTRARIAS
                       • PROPORCIONES CONTRADICTORIAS
                         • Dos proposiciones son contradictorias si una de ellas es la negación de la otra, es decir, las dos proposiciones no pueden ser a la vez verdaderas ni a la vez falsas.
                           • pero son diferentes tanto en cantidad como en cualidad, son contradictorias entre sí.
                             • EJEMPLO
                               • Las proposiciones
                                 • ?: todos los jueces son abogados ?: algunos jueces no son abogados
                                   • Son contradictorias porque son opuestas tanto en cantidad como en cualidad. La proposición ? es universal afirmativa, mientras que la proposición ? es particular negativa.
                                     • Otra forma de identificar las proposiciones contrarias, es cuando la verdad de una proposición implica la falsedad de la otra.
                                       • EJEMPLO
                                         • ?: 3 es mayor que 1 ?: 1 es mayor que 3.
                                           • Son contradictorias porque la proposición ? es falsa y esto implica que la proposición ? sea verdadera
                       • PROPORCIONES CONTRARIAS Y SUBCONTRARIAS
                         • Es importante aclarar la diferencia
                           • PROPORCIONES CONTRARIAS
                             • Se dice que dos proposiciones son contrarias si no pueden ser ambas verdaderas, aunque ambas puedan ser falsas.
                               • EJEMPLO
                                 • Considerando las proposiciones
                                   • ?: Paola es mayor que Angélica ?: Angélica es mayor que Paola
                                     • Inicialmente se podría pensar que son contradictorias, es decir, que si ? es verdadera, ? seria falsa
                                       • pero al considerar el hecho de que Paola y Angélica tengan la misma edad, ambas proposiciones serian falsas, por lo tanto no serían contradictorias, y en este caso se llamarían contrarias,
                                         • debido a que ambas no pueden ser verdaderas pero si falsas.
                                           • En forma general se puede decir que dos proposiciones universales que tienen los mismos sujetos y predicados pero difieren en cualidad son contrarias
                                             • EJEMPLO
                                               • Dadas las proposiciones:
                                                 • ?: todos los números enteros son positivos ?: algunos enteros son positivos ?: todos los enteros son negativos
                                                   • Se puede afirmar que las proposiciones ? y ? son contradictorias porque una es la negación de la otra Y las proposiciones ? y ? son contrarias ya que ambas no pueden ser verdaderas pero si son ambas falsas.
                           • PROPORCIONES SUBCONTRARIAS
                             • Se dice que dos proposiciones son subcontrarias si no pueden ser ambas falsas pero si ambas verdaderas
                               • EJEMPLO
                                 • Las proposiciones
                                   • ?: algunos enteros son positivos ?: algunos enteros son negativos
                                     • Son subcontrarias debido a que ambas son verdaderas.
                                       • LA CLAVE
                                         • se afirma que dos proposiciones particulares que tienen el mismo término sujeto y término predicado pero diferente cualidad son subcontrarias
                                           • EJEMPLO
                                             • ?: algunos ingenieros de sistemas son matemáticos ?: algunos ingenieros de sistemas no son matemáticos
                                               • Las proposiciones ? y ? pueden ser las dos verdaderas, pero no pueden ser las dos falsas, por lo tanto se dice que son subcontrarias.
                       • PROPORCIONES CONTINGENTES
                         • Una proposición que no es necesariamente verdadera ni necesariamente falsa se llama CONTINGENTE
                           • EJEMPLO
                             • ?: todos los matemáticos son filósofos
                               • Esta es una proposición que no es necesariamente verdadera (no todos los matemáticos son filósofos), ni necesariamente falsa (existen matemáticos que si son filósofos)
                                 • LA CLAVE
                                   • Observa que necesariamente, al afirmar que “algunos enteros son negativos”, estamos afirmando que el resto son enteros positivos. Esto imposibilita que ambas proposiciones sean falsas.
                                     • se afirma que dos proposiciones particulares que tienen el mismo término sujeto y término predicado pero diferente cualidad son subcontrarias
                                       • EJEMPLO
                                         • ?: algunos ingenieros de sistemas son matemáticos ?: algunos ingenieros de sistemas no son matemáticos
                                           • Las proposiciones ? y ? pueden ser las dos verdaderas, pero no pueden ser las dos falsas, por lo tanto se dice que son subcontrarias.

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