Vetor Gradiente

Vetor Gradiente

1. derivada direcional

   • • • O gradiente de uma função f, denotado por ∇f ou grad f, é a função vetorial cujas componentes são as derivadas parciais.
   • Utilizamos derivada direcional quando queremos encontrar a taxa de variação de z = f(x, y) na direção de um vetor unitário u = (a.b). Para tanto, devemos considerar uma superfície S com equação z = f(x,y). Consideremos um ponto Po = (xo,yo) no domínio de z. Temos ainda um plano vertical que passa por Po na direção de u.
     • • A inclinaçã o da reta T que tangencia em P o à curva gerada pela interseção do plano com a superfície z = f(x,y) é a taxa de variação de z na direção do vetor u.
         • Seja z = (x, y) diferenciável, então f tem derivada direcional na direção de qual quer vetor unitário u =(a,b) e
   • Ache a derivada direcional de f(x,y) = x³y² no ponto P0 ( -1, 2 ) na direção a = 4i - 3j.

2. Em R² o vetor gradiente ∇f(x0, y0), além de fornecer a direção e sentido de maior crescimento, é perpendicular à reta tangente à curva de nível de f(x, y) = k que passa por P = (x0, y0).

   • Em R³ O vetor gradiente ∇F(x0, y0, z0), além de fornecer a direção e sentido de maior crescimento, é perpendicular ao plano tangente à superfície de nível de F(x, y, z) = k que passa por P = (x0, y0, z0).
     • • O plano tangente à superfície F(x, y, z) = k em P = (x0, y0, z0) é dado por todos os vetores que partem de (x0, y0, z0) e são ortogonais ao gradiente ∇F(x0, y0, z0)
         • ∇f(x0, y0, z0) · (x − x0, y − y0, z − z0) = 0.
       • A reta normal a superfície F(x, y, z) = k em P = (x0, y0, z0) é dada pelo gradiente ∇F(x0, y0, z0)
         • (x − x0, y − y0, z − z0) = λ∇f(x0, y0, z0), λ ∈ R.

3. Curvas de Nível

   • As curvas de nível de uma função f de duas variáveis são aquelas com equação f(x,y) = k, onde k é uma constante (na imagem de f).
     • Uma curva de nível f(x,y) = k é o conjunto de todos os pontos do domínio de f nos quais o valor f é k.
       • Ela mostra onde o gráfico de f tem altura k.
         • As curvas de nível são também conhecidas como curvas de contorno cuja representação gráfica de uma série dessas curvas para uma mesma f é chamada de mapa de contorno de f.
           • • O gráfico de f é um parabolóide com vértice centrado em (3,4) e as curvas de nível são circunferências como mostra o mapa de contorno.

4. Considere a função f(x, y) = -x^4 + 4(x^2 - y^2)-3. Qual é o gradiente dessa função?

5. ·

   • É importante destacar que o vetor gradiente é perpendicular à curva de nível no ponto P(xo,yo) e aponta para a direção de maior crescimento de z a partir de um ponto P (xo,yo) do domínio de z.

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