N.C Andrea Martín

N.C Andrea Martín

1. Forma binómica

   • Definición
     • Un número complejo se define como una expresión de la forma:
       • z= x+iy, se denomina forma binómica.
   • Paso de binómica a polar.
     • r= √ a2 +b2
     • α=arctan(a/b)

2. Forma polar

   • Definición
     • Si r es igual al módulo y α es un argumento de un número complejo z entonces (r, α) son sus coordenadas polares y el número complejo en forma polar se escribe z = r α .
   • Paso de polar a binómica
     • z = x + iy = r∙(cos α + i sen α). Esta forma se llama forma trigonométrica

3. Historia cronológica de los números complejos

   • La primera referencia escrita de la raíz cuadrada de un número negativo la encontramos en la obra Stereometría de Herón de Alejandría alrededor de la mitad del siglo I. Es este trabajo comparece la operación √81 − 144 aunque es tomada como √144 − 81, no sabiéndose si este error es debido al propio Herón o al personal encargado de transcribirlo.
     • Son los matemáticos hindúes los que dan las primeras explicaciones a este tipo de problemas. Mahavira, alrededor del año 850, comenta en su tratado de los números negativos que ”como en la naturaleza de las cosas una catidad negativa no es un cuadrado, por tanto no puede tener raíz cuadrada”.
     • Herón de Alejandría
     • En el siglo XVIII, los números complejos obtuvieron un uso más amplio, ya que se notó que la manipulación formal de expresiones complejas podría usarse para simplificar los cálculos que implican funciones trigonométricas. Por ejemplo, en 1730 Abraham de Moivre observó que las complicadas identidades que relacionan las funciones trigonométricas de un múltiplo entero de un ángulo con las potencias de las funciones trigonométricas de ese ángulo podrían simplemente reexpresarse mediante la siguiente conocida fórmula que lleva su nombre, la fórmula de De Moivre.
       • (cos r+ i sen r)elevado a n= cos n·r+ i sen n·r.
         • En 1748 Leonhard Euler fue más allá y obtuvo Fórmula de Euler de análisis complejo: cos n·r+ i sen n·r= e elevado a i·r, manipulando formalmente series de potencias complejas, y observó que esta fórmula podría usarse para reducir cualquier identidad trigonométrica a identidades exponenciales mucho más simples.
           • Los números complejos ligados a las funciones analíticas o de variable compleja, han permitido extender el concepto del cálculo al plano complejo. El cálculo de variable compleja posee diversas propiedades notables que conllevan propiedades que pueden usarse para obtener diversos resultados útiles en matemática aplicada.
           • Leonhard Euler
       • Abraham de Moivre
   • Primeros estudios: SXVI
     • Numerosos matemáticos contribuyeron al desarrollo de los números complejos. Las reglas para la suma, resta, multiplicación y extracción de raíces de números complejos fueron desarrolladas por el matemático italiano Rafael Bombelli​ y fue el matemático irlandés William Rowan Hamilton quien desarrolló un formalismo más abstracto para los números complejos, extendiendo esta abstracción a la teoría de los cuaterniones.
       • El interés por estudiar los números complejos como un tema en sí mismo surgió por primera vez en el siglo XVI, cuando los matemáticos italianos descubrieron soluciones algebraicas para las raíces de los polinomios cúbicos y cuárticos. Pronto se dieron cuenta de que estas fórmulas, incluso si solo se estaba interesado en soluciones reales, a veces requerían la manipulación de raíces cuadradas de números negativos.
         • Rafael Bombelli​
           • William Rowan Hamilton
         • El término "imaginario" para estas cantidades fue acuñado por René Descartes en 1637, esforzándose precisamente por enfatizar su naturaleza imaginaria

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