Geometria Analítica e Álgebra Linear

Geometria Analítica e Álgebra Linear

1. Matriz

   • Quadrada
     • Linhas=Colunas
   • Diagonal
     • Todos os valores que não fazem parte das diagonais são zero
   • Identidade
     • A identidade tem apenas o número "1" em sua diagonal
   • Nula
     • Composta de zeros
   • Transposta
     • Matriz onde os valores da linha se tornam a coluna. E os valores da coluna se tornam os valores da linha.
     • (A*B)^t=(B^t)*(A^t)
   • Operações com matrizes
     • Multiplicação
       • Por escalar multiplica-se toda a matriz pelo valor.
         • Uma matriz identidade multiplicada por um valor "x" se torna uma diagonal
       • O número de colunas da matriz á esquerda deve ser o mesmo número de linhas da direita
         • Os cálculos ocorrem por meio de multiplicações entre os valores das linhas da matriz esquerda com os valores das colunas da matriz a direita.
         • A matriz resultante dessa multiplicação deve apresentar o número de colunas da segunda matriz e o número de linhas da primeira
     • Adição
       • Uma soma ou subtração de raízes só ocorre caso o número de colunas e linhas das duas matrizes sejam iguais
       • Os números de cada coluna são somados ou subtraídos pelos valores respectivos da outra matriz (Aij + Bij)
     • Determinante
       • Propriedades
         • Determinante de (A) é igual ao Determinante de (A^t)
           • "A^t" é uma forma de representar uma matriz transposta
         • Se a matriz apresenta uma linha ou coluna com todos os valores sendo zero o determinante será 0
         • Se a matriz possui uma linha ou coluna que seja múltipla de outra o determinante será 0
         • Se a matriz "A" é invertível o determinante de (A^-1) é igual a 1/det(A)
         • det(AB)=det(A)*det(B)
       • Calculo de Determinante
         • Método de Laplace
           • Deve ser usado em matrizes quadradas 3x3 , 4x4 ou maiores e consiste em escolher um valor da matriz e ignorar a linha e coluna que ele pertence e calcular o determinante dos valores restantes. Essa procedimento deve ser usado para todos os valores da linha escolhida
         • Método de Sarrus
           • Deve ser usado em matrizes 3x3 e consiste em repetir as 2 primeiras colunas e calcular o determinante multiplicando os valores das diagonais
         • Multiplica os valores da diagonal da matriz. Caso seja da esquerda para a direita o valor será positivo, e se for o contrario o valor será negativo
       • Se o determinante da matriz "A" for diferente de 0 terá uma única solução
         • Se o determinante da matriz "A" for igual a de 0 terá dois possíveis resultados (infinitas ou nenhuma)
           • O resultado pode ser achado o resultado por meio de escalonamento
           • Se o determinante for diferente de 0 terá apenas uma solução, a solução trivial
             • Se o determinante for igual a zero terá infinitas soluções
     • Matriz Inversível
       • Propriedades
         • Uma matriz só é invertível se det(A) for diferente de "0"
         • Representada pela matriz elevada a "-1"
         • A*A^-1=Inversível
         • se uma linha ou coluna for 0 não existe uma matriz inversa
         • (A*B)^-1=(B^-1)*(A^-1)
         • det(A^-1)=1/det(A)
       • Para calcular uma matriz inversível é necessário igualar a matriz A com sua identidade. E depois deve-se realizar equações com as linhas da matriz até que a matriz "A" seja uma matriz identidade. Como toda equação realizada (como por exemplo caso seja adicionada uma linha com a outra) altera a matriz que anteriormente era uma matriz identidade e esse resultado é a matriz "A^-1"
   • Linhas normalmente são representadas pela letra "i" e as colunas por "j"
     • As linhas e colunas podem ser usadas como coordenadas de um valor

2. Sistema linear

   • Propriedades
     • Ax=B
       • Um sistema linear pode
         • Ter uma única solução
         • Ou nenhuma solução
         • Ter infinitas soluções
     • Sistema Homogeneo
       • Ax=0
         • Pode ter uma única solução (solução trivial)
           • (solução trivial ocorre se x for igual a zero
         • Ou infinitas soluções