Modelado matemático de sistemas de control

Modelado matemático de sistemas de control

1. Modelos matemáticos

   • Un modelo matemático de un sistema dinámico se defino como un conjunto de ecuaciones que representan la dinámica del sistema con precisión o, al menos, bastante bien
   • La dinámica de muchos sistemas de diferentes propiedades se describen en términos de ecuaciones diferenciales

2. Simplicidad vs precisión

   • En un modelo matemático se debe establecer un compromiso entre la simplicidad y la precisión de los resultados
     • Al obtener un modelo matemático razonablemente simplificado, es necesario ignorar ciertas propiedades físicas inherentes al sistema
   • En un modelo de parámetros concentrados lineal, que puede ser válido si opera en baja frecuencia, tal vez no sea válido en frecuencias suficientemente altas

3. Sistemas lineales

   • Un sistema se denomina lineal si se aplica el principio de superposición
     • El principio de superposición establece que la respuesta producida por la aplicación simultánea de dos funciones de entradas diferentes es la suma de las dos respuestas individuales
   • • Sistemas lineales invariantes
       • los sistemas dinámicos formados por componentes de parámetros concentrados lineales invariantes con el tiempo se describen mediante ecuaciones diferenciales lineales invariantes en el tiempo con coeficientes constantes
     • Sistemas lineales variantes en el tiempo
       • Son los sistemas que se representan mediante ecuaciones diferenciales cuyos coeficientes son funciones del tiempo

4. Función de transferencia

   • En un sistema descrito por una ecuación diferencial lineal invariable en el tiempo se define como:
     • El cociente entre la transformada de Laplace de la salida y la transformada de Laplace de la entrada bajo la suposición de que todas las condiciones iniciales son cero.
   • La función de transferencia es una propiedad de un sistema, independiente de una magnitud y naturaleza de la entrada
     • La función de transferencia incluye las unidades necesarias para relacionar la entrada con la salida
       • Al desconocerse la función de algún sistema puede establecerse experimentalmente introduciendo entradas conocidas y estudiando la salida del sistema

5. Integral de convolución

   • Para un sistema lineal e invariante en el tiempo la función de transferencia
     • • X(s) = transformada de Laplace de entrada
         • Y(s) = transformada de Laplace de salida
       • La salida Y(s) es
         • • La transofrmada inversa de Laplace se obtiene mediante la integral de convolución:

6. Respuesta impulso

   • La respuesta impulso g(t) es la respuesta de un sistema lineal a una entrada impulso unitario cuando las condiciones iniciales son cero

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