VIBRACIONES MECÁNICAS

VIBRACIONES MECÁNICAS

1. Movimiento de una partícula o cuerpo que oscila alrededor de una posición de equilibrio

   • Se produce cuando un sistema se desplaza de una posición de equilibrio estable
   • Periodo de vibración
     • El intervalo de tiempo requerido para que el sistema realice un ciclo de movimiento completo
     • Frecuencia
       • Número de ciclos por unidad de tiempo
     • Amplitud
       • Desplazamiento máximo del sistema a partir de su posición de equilibrio
         • Se ve afectada por la magnitud de las fuerzas de amortiguamiento

2. VIBRACIÓN LIBRE

   • El movimiento se mantiene únicamente por medio de fuerzas restaudaroras
   • Péndulo Simple
     • - W sen θ = ml (θ¨)
       • (θ¨) + (g/l)θ = 0
     • Ƭn = 2π/Wn = 2π√(l/g)
   • De Cuerpos Rígidos
     • ẍ + (Wn^2)x = 0
       • (θ¨) + (Wn^2)θ = 0
         • Se determina Wn
           • X = Xm sen[(Wn)t +ɸ)
       • Movimiento armónico simple
     • RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS
       • 1. Elegir una coordenada que medirá el desplazamiento del cuerpo a partir de su posición de equilibrio
         • 2. Dibujar una ecuación de diagramas de cuerpo libre
           • 3. Escribir las ecuaciones diferenciales de movimiento
             • Igualando las sumas de las componentes de las fuerzas externas efectivas en las direcciones x y y y las sumas de sus momentos con respecto a un punto dado.
             • 4. Identificar Wn^2
               • 5. Determinar la amplitud y el ángulo de fase ɸ
   • De una Partícula
     • Partícula en equilibrio estático
       • W = T
         • T = k(δ estátaica)
         • W = k(δ estátaica)
       • Hay desplazamiento
         • F = W - k(δestática + x) = -kx
           • mẍ = kx = 0
             • movimiento armónico simple
               • La aceleración es proporcional al desplazamiento y de dirección opuesta
             • • = Wn = = frecuencia circular natural
               • ẍ + (Wn^2)x = 0
                 • v = ẋ = C1(Wn) cos ((Wn)t) - C2(Wn) sen ((Wn)t)
                   • a = ẍ = -C1(Wn^2) sen ((Wn)t) - C2(Wn^2) cos ((Wn)t)
         • • Xm = Amplitud
             • ɸ = Ángulo de fase
               • Ƭn = Periodo
                 • Ƭn = 2π/Wn
                 • ƒn = Frecuencia natural
                   • ƒn =1/Ƭn = Wn/2π
           • curva desplazamiento-tiempo
           • Vm = Xm*Wn
             • am = Xm*Wn^2
   • RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS
     • 1. Dibujar un diagrama de cuerpo libre como se muestra en las fuerzas ejercidas sobre la partícula
       • 2. Escribir la ecuación diferencial de movimiento
         • 3. Determinar la frecuencia circular natural Wn
           • 4. Determinar la amplitud de Xm y el ángulo de fase ɸ
         • igualando a mẍ la resultante de fuerzas
       • cuando ésta se encuentra a una distancia x de su posición de equilibrio.
   • Aplicación del Principio de Conservación de la Energía
     • Se conoce que
       • F = -kx
         • V = (1/2)k*x^2
           • T = (1/2)mẋ^2
             • T + V = cte
               • (mẋ^2) + (Wn^2)(x^2) = cte
               • T1 + V1 = T2 + V2
     • RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS
       • 1. Calcular la energía potencial V1 del sistema en su posición de desplazamiento máximo
         • a) La energía potencial asociada con el peso W de un cuerpo es Vg = Wy'
           • y = b(1 - cos θ).
             • y = (1/2)bθ^2
           • Vg = (1/2)Wb(θm^2)
           • b) La energía potencial asociada con la fuerza elástica ejercida por un resorte
             • Ve = (1/2)k(Xm^2) = (1/2)k(a^2)(θm^2)
             • c) La energía potencial V1 del sistema en su posición de desplazamiento máximo
               • sumando las diversas energías potenciales que se han calculado
         • 2. Calcular la energía cinética T2 del sistema en su posición de velocidad máxima.
           • a) Si el sistema está compuesto por un solo cuerpo rígido,
             • T2 = (1/2)m(Vm^-2) + (1/2)m(Im^-2)
             • b) Si el sistema está compuesto de varios cuerpos rígidos
               • Repetir cálculo anterior para c/u de los cuerpos
           • 3. Iguale la energía potencial V1 del sistema a su energía cinética T2
             • V1 = T2

3. VIBRACIÓN FORZADA

   • Se aplica una fuerza periódica al sistema [Pm]
     • mẍ + kx = Pm ((sen Wf)t)
     • mẍ + kx = k(δm) ((sen Wf)t)
     • Solución gral. de las ecuaciones
       • x = C1 sen(Wn*t) + C2 cos(Wn*t) + Xm sen(Wf*t)
       • Factor de Amplificación
         • Relación de la amplitud de la vibración de estado estable a la deflexión estática causada por una fuerza periódica o la amplitud de movimiento del apoyo
           • La amplitud Xm de la vibración forzada se vuelve infinita cuando Wf = Wn
         • • Vm = Xm*Wf
             • am = Xm*Wf^2
   • Sol. Particular
     • Xpart = Xm sen Wft

4. VIBRACIONES AMORTIGUADAS

   • Es posible ignorar los efectos de la fricción
   • Libres Amortiguadas
     • Ec. Movimiento
       • W - k(δestática + x) - cẋ = mẍ
         • mẍ + cẋ + kx = 0
           • c = coeficiente de amortiguamiento
     • Clases de Amortiguamiento
       • Sobreamortiguamiento o amortiguamiento fuerte
         • C > Cc
       • Amortiguamiento crítico
         • C = Cc
         • • Cc = 2m√(k/m) = 2m(Wn)
       • Subamortiguamiento o amortiguamiento débil
         • C < Cc
         • • Wd = Wn√(1-(C/Cc)^2)
   • Forzadas Amortiguadas
     • mẍ + cẋ + kx = Pm sen(Wf*t)
       • Sol. Particular
         • Xpart = Xm sen((Wf*t) - φ)
     • Factor de Amplificación
       • • Wn = √(k/m) = Frecuencia circular natural del sistema no amortiguado
           • Cc = 2mWn = coeficiente de amortiguamiento crítico
             • C/Cc = factor de amortiguamiento
       • Diferencia de fase
         • tan φ = [2(C/Cc)(Wf/Wn)] / [1-(Wf/Wn)^2]
   • Analogías Eléctricas
     • • q = Carga

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