Sistema de ecuaciones lineales, rectas, planos y espacios vectoriales.

Sistema de ecuaciones lineales, rectas, planos y espacios vectoriales.

1. Sistema de ecuaciones lineales.

   • Ecuación
     • Igualdad entre dos expresiones que contiene una o varias variables
     • Sistema de Ecuaciones
       • Conjunto de Ecuaciones
       • Líneal
         • Cada ecuación es de primer grado
   • Tipo
     • Compatible Determinado
       • Tiene una solución
     • Compatible Indeterminado
       • Tiene Infinitas soluciones
     • Incompatible
       • No tiene soluciones
   • Forma matricial de un sistema
     • Es A*X=B
       • Donde
         • A es la matriz que en la fila k contiene los coeficientes de las incógnitas de la ecuación k .
         • X es la matriz columna con las incógnitas.
         • B es la matriz columna con los términos independientes de las ecuaciones.
         • A ∗ es la matriz ampliada o aumentada del sistema formada por las matrices A y B
           • A=(A|B)
   • Método de eliminación de Gauss
     • Sin alterar las soluciones del sistema
       • Intercambiar el orden de las ecuaciones.
       • Sumar algunas de sus ecuaciones.
       • Multiplicar alguna ecuación por un número distinto de 0.
     • Se modifican las ecuaciones
       • Sobre la matriz ampliada del sistema
       • Hallar la forma escalonada
         • Una matriz triangular superior
           • un sistema mucho más fácil de resolver
             • Por sustitución hacia atrás.

2. Rectas.

   • Una sucesión infinita y consecutiva de puntos en un plano tridimensional
     • Se representa por
       • Ecuación general
         • Ecuaciones vectorial
           • La recta r como un conjunto de puntos del plano, alineados con un punto P y con una dirección dada \vec v .
           • Si P(x_1,y_1) es un punto de la recta r, el vector, \vec PX o la dirección de este punto P, tiene la misma dirección que la recta r
           • La misma dirección que \vec v .
           • \vec PX es igual al \vec v multiplicado por un escalar:
         • Paramétricas
           • Contiene los valores de todos los puntos de la recta para x e y, respectivamente
           • a_1 y a_2 son las coordenadas del punto conocido A( a_1,a_2) por el cual pasa la recta.
           • v_1 y v_2 son las coordenadas de un vector director, \vec V=( v_1,v_2), que nos indica la dirección de la recta
           • \lambda es un número real que nos permitirá conocer cualquier coordenada de la recta según el valor que se le asigne.
         • Simétricas
           • Ecuación canónica o segmentaria de la recta
             • Son los valores dónde la recta corta a cada uno de los ejes coordenados.
               • El valor donde la recta corta al eje X le llamaremos a
               • El valor donde la recta corta al eje Y le llamaremos b
               • Generando los dos puntos en el plano cartesiano (a, 0) y (0, b)
         • mediante
           • Coordenadas
             • Puntos
             • Funciones.
             • Vectores

3. Planos

   • Superficie donde se pueden trazar puntos y rectas
   • Dimensiones
     • Longitud
     • Anchura
   • Paralelos
     • La misma distancia entre sí.
     • Nunca se cortan
     • No tienen punto en común.
     • Ecuación general (o implícita) de dos planos distintos:
       • A1x+B1y+C1z+D1=0
       • A2x+B2y+C2z+D2=0
       • si sus coeficientes A, B y C son proporcionales entre sí
         • No con el coeficiente D
           • (A1x)/(A2x)=(B1x)/(B2x)=(C1x)/(C2x)≠(D1x)/(D2x)
     • Propiedades
       • Reflexiva
         • Todo plano es paralelo a sí mismo.
       • Simétrica
         • Si un plano es paralelo a otro, aquel plano también es paralelo al primero.
       • Transitiva
         • Si un plano es paralelo a otro plano, y este segundo plano es a la vez paralelo a un tercer plano, el primer plano también es paralelo al tercer plano.
     • Distancia
       • Formula distancia de un punto a un plano
       • Formula de los coheficientes
         • d(P,π)=(|D2-D1|)/√A²+B²+C²

4. Espacios vectoriales.

   • Un conjunto no vacío de objetos
     • definidas dos operaciones
       • Suma y multiplicación por escalares
         • Números Reales
       • Sujetas a diez axiomas
         • Los vectores u, v, y w en V
         • los escalares c y d.
         • 1. La suma de u y v, denotada por u + v, está en V
         • 2. u + v = v + u
         • 3. (u + v)+ w = u + ( v + w )
         • 4. Existe un vector 0 en V tal que u + 0 = u
         • 5. Para cada u en V, existe un vector –u en V tal que u + (-u ) = u.
         • 6. El múltiplo escalar de u por c, denotado cu, está en V
         • 7. c( u + v ) = cu + cv
         • 8. ( c+ d ) u = cu + du
         • 9. c(du) = (cd)u
         • 10. 1u=u
     • llamados vectores

5. Combinación lineal

   • Es el vector que se obtiene al sumar dos o mas vectores, multiplicados por escalares.
     • Cualquier vector se puede poner como combinación lineal de otros que tengan distinta dirección.

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