Vetores

Vetores

1. Vetor é um segmento de reta orientado que apresenta módulo (tamanho), direção e sentido.

   • Dois vetores são iguais quando possuem o mesmo módulo, a mesma direção e o mesmo sentido.

2. Vemos situações onde usaremos uma, duas ou três dimensões. As componentes de um vetor são os valores da grandeza nessas direções que iremos usar.

   • Quando temos um movimento na horizontal, se o valor da grandeza for positivo ela está para direita e se for negativo estará para esquerda. Quando temos um movimento na vertical, se o valor da grandeza for positivo ela está para cima e se for negativo estará para baixo. Nas outras situações, como as de duas dimensões, usaremos, para referência, um plano cartesiano.
     • No caso onde o vetor não se encontra na origem, é possível redesenhá-lo, para que esteja na origem, ou então descontar a parte do plano onde o vetor não é projetado. Portanto, sendo mais preciso para medir a distância entre os pontos

3. Vetor unitário é o que tem o módulo igual a 1.

   • Para construir um vetor unitário u que tenha a mesma direção e sentido que um outro vetor v, basta dividir o vetor v pelo seu módulo.

4. As operações com vetores envolvem multiplicação por número real, soma e produto escalar. Todas elas partem da relação dos vetores com a Geometria. Diferentemente das figuras geométricas formadas por ele, o ponto não possui definição.

   • Soma: (1,2,3) + (3,2,1) = (4,4,4)
   • multiplicação por número real: 2(1,2,3) = (2,4,6)
   • Produto Escalar: v . w = v1w1 + v2w2 + v3w3

5. Propriedades da soma de vetores: I) Comutativa: Para todos os vetores u e v de R2: v + w = w + v II) Associativa: Para todos os vetores u, v e w de R2: u + (v + w) = (u + v) + w III) Elemento neutro: Existe um vetor O=(0,0) em R2 tal que para todo vetor u de R2, se tem: O + u = u IV) Elemento oposto: Para cada vetor v de R2, existe um vetor -v em R2 tal que: v + (-v) = O

   • Propriedades do produto de escalar por vetor Quaisquer que sejam k e c escalares, v e w vetores: 1 v = v (k c) v = k (c v) = c (k v) k v = c v implica k = c, se v for não nulo k (v+w) = k v + k w (k + c)v = k v + c v

6. Dizemos que dois vetores são paralelos (ou colineares) quando seus representantes tiverem a mesma direção, ou seja, se tiverem representantes sobre uma mesma reta ou sobre retas paralelas.

   • exemplo: (5,1,-6) e (10,2,-12) são colineares tal que (5,1,-6) = (1/2)(10,2,-12)

7. para verificar que três pontos são colineares utilizando vetores, basta analisar se eles possuem mesmo módulo e direção

8. para verificar que quatro pontos são vértices de um paralelogramo, basta analisar se há dois pares iguais, se sim, então são vértices de um paralelogramo.