Matrices, determinantes y sistemas de ecuaciones lineales

Matrices, determinantes y sistemas de ecuaciones lineales

1. Matrices

   • Tabla numérica de m filas y n columnas
     • Tipos de matrices
       • Por su forma
         • Matriz fila
         • Matriz columna
         • Matriz cuadrada
           • Tiene igual número de filas que de columna
         • Matriz transpuesta
           • La matriz que se obtiene cambiando las filas por columnas
         • Matriz simétrica
           • Cumple que es igual a su traspuesta A=At
         • Matriz antisimétrica
           • Es antisimétrica si At = −A
       • Por sus elementos
         • Matriz nula
           • Todos sus elementos son 0
         • Matriz diagonal
           • todos sus elementos nulos salvo la diagonal principal.
         • Matriz escalar
           • Matriz diagonal con todos los elementos de la diagonal iguales
         • Matriz identidad
           • Matriz escalar con los elementos de la diagonal igual a 1.
         • Matriz triangular superior y inferior
           • Matriz cuadrada en la que todos los elementos por encima (por debajo) de la diagonal principal son nulos
     • Operaciones con Matrices
       • Suma y diferencia de matrices
         • Se suman elementos a elementos
       • Producto de matrices por un numero
         • Es producto de una matriz A por un numero = matriz B
       • Producto de 2 matrices
         • Se puede multiplicar si las columnas de la primera matriz son igual a las filas de la segunda matriz
       • Matriz inversa
         • Solo hay para matrices cuadradas , A B = B A = Idn
     • Rango de una matriz
       • número de filas (o de columnas) linealmente independientes. El rango de A se denotará por rg(A)
         • Cálculo del rango por Gauss
           • Regla 1. Multiplicar una fila (o columna) por un número distinto de cero. Regla 2. Sumar o restar una fila (o columna) a otra.

2. Forma matricial de un sistema lineal

   • Se puede escribir en la siguiente forma matricial
     • AX = B;
       • donde:
         • A = matriz asociada al sistema
         • B = términos independientes
         • X =formada por las incógnitas.

3. Sistemas equivalentes

   • son equivalentes
     • tienen las mismas soluciones.
   • Transformaciones de Gauss
     • regla práctica:
       • conviene eliminar las ecuaciones dependientes, como:
         • Ecuaciones nulas
         • Ecuaciones iguales
         • Ecuaciones proporcionales
     • Método de Gauss
       • Dado la matriz ampliada de un sistema
         • pretendemos obtener una matriz triangular superior
           • Pueden ocurrir tres casos
             • Sistema compatible determinado
             • Sistema compatible indeterminado
             • Sistema incompatible

4. Teorema de Rouché-Fröbenius

   • es compatible si, y sólo si
     • el rango de la matriz de los coeficientes es igual al rango de la matriz ampliada
       • • En un sistema con n incógnitas, se tiene que:

5. Regla de Cramer

   • Se puede realizar por el método de Cramer si
     • Tiene el mismo numero de incognitas que el de ecuaciones.
     • El determinante de la matriz de coeficientes es distinto de cero.
   • Un sistema de Cramer es por definición compatible determinado
     • rg(A) = rg(A*) = n.
     • El valor de cada incógnita se obtiene dividiendo el determinante asociado a dicha incógnita por el determinante del sistema

6. Determinantes

   • La determinante de una matriz, se podrá calcular, siempre y cuando el orden de la matriz sea (NxN) es decir una matriz cuadrada.
   • Escalar representativo
   • Denotado por |A| o det(A)
   • Tipos de DETERMINANTES
     • DET. de orden 2
       • A partir de una MATRIZ A
       • Se llama det(A) al número real que:
     • DET. de orden 3
       • • En matrices de orden 3x3
           • REGLA DE SARRUS
             • Agregar dos filas, debajo de la matriz original
             • Agregar dos columnas, a la derecha de la matriz original
       • A partir de una MATRIZ A
     • DET. de orden N
       • MENOR COMPLEMENTARIO
         • En una matriz dada, el menor complementario, es la determinante de la matriz cuadrada que se obtiene al reducir la fila y columna de dicha elemento (Aij), y tomando los elementos sobrantes para armar la nueva matriz cuadrada de orden N-1.
       • ADJUNTO
         • El adjunto de un elemento a_ij de una matriz A_mxn (Número Real). Se define mediante
           • ∆ij : = (−1)^(i+j) · Mij
           • MATRIZ DE COFACTORES
       • DET. por recurrencia
         • El determinante de una matriz cuadrada es igual a la suma de los elementos de una fila o columna multiplicadas por sus adjuntos correspondientes
           • Se puede aplicar a la i-ésima fila o j-ésima columna.
           • |A| = ai1 · ∆i1 + ai2 · ∆i2 + · · · + ain · ∆in
       • Calcular Rango mediante DETERMINANTES
         • Si al suprimir una matriz(A), tenemos una nueva matriz Aij, esta es "sub-matriz" de A. Puede que A no sea una matriz cuadrada, pero contiene varias sub-matrices que si lo son. Por lo tanto, es factible calcular su determinante
           • Existe una sub-matriz S de A de orden k con |S| 6= 0
           • dada A ∈ Mn,tenemos que rg(A) = n ⇐⇒ |A| 6= 0
       • Calcular Matriz Inversa mediante DETERMINANTES
         • Una Matriz tiene su Inversa solamente si su determinante es diferente de CERO.
           • 1. Tendremos que comprobar si el determinante de la matriz es diferente de cero. En caso de no serlo, la matriz no tiene inversa
           • 2. En caso de tenerla, calculamos la matriz adjunta, que se obtiene al reemplazar cada elemento por su respectivo adjunto, con respecto a la matriz de COFACTORES.
           • 3. Después de haber calculado la matriz adjunta, calcularemos la matriz Transpuesta (A^t) de la adjunta, con respecto a la matriz original. es decir adj(A)^t
           • 4.Por último calculamos, la inversa que sería igual al producto entre la matriz final obtenida (adj(A)^t) por 1/2.
   • PROPIEDADES
     • det(A) = det(A^t) para todo A ∈ [M_n]
       • Si dos filas o columnas son proporcionales, la determinante será CERO.
         • det(F1, α F1, F3) = 0.
       • Si se tiene la determinante del producto entre dos matrices, esto será igual al producto de cada determinante de dichas matrices.
         • det(A · B) = det(A) · det(B)
     • Si la matriz posee una Fila o Columna de CEROS (0). La determinante es CERO.
       • Si tengo dos sumandos entre las filas o columnas de una matriz, la determinante será la suma de las dos determinantes, de cada sumando por cada fila o columna de la matriz.
         • det(F1 + F1´, F2, F3) = det(F1, F2, F3) + det(F1´ , F2, F3)
       • Si se multiplica a las filas y columnas de una matriz por un escalar, la determinante será igual producto entre el escalar por la determinante de la matriz
         • det(α F1, F2, F3) = α det(F1, F2, F3)
       • Si la matriz tiene dos fila o dos columnas iguales, la determinante es CERO.
         • det(F1, F1, F3) = 0
     • Al permutarse 2 filas o columnas, la determinante cambia de signo.
       • det(F1, F2, F3) = − det(F2, F1, F3)
       • Si a una fila o columna le sumamos una combinación lineal de dicha fila o columna, la determinante no varía.
         • det(F1 + α F2 + β F3, F2, F3) = det(F1, F2, F3)
       • Si una fila o columna es una combinación lineal de dicha fila o columna, la determinante será CERO.
         • det(F1, F2, α F1 + β F2) = 0

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