Integración y otros temas

Integración y otros temas

1. Introducción

   • En economía es particularmente importante el hecho de que la derivada representa la variación de una función
   • Año 360 AC, Eudoxo inventa el método general para hallar áreas de regiones planas (método de exhaución)
     • Inscribir y circunscribir a la región en regiones más sencillas

2. Áreas bajo curvas

   • Función A(x) que mide el área bajo la curva y=f(x) en el intervalo [a,x]
     • Método para hallar el área bajo la curva
       • 1. hallar una función arbitraria F que sea continua en [a,b] tal que F´(x) = f(x) para todo x ∈ (a,b) 2. el área buscada es entonces F(b) - F(a)
     • Antiderivada de f a toda función F tal que F'(x)=f(x)

3. Integrales indefinidas

   • F una integral indefinida de f
     • ∫f(x)dx=F(x)+c cuando F'(x)=f(x)
       • Donde ()' designa derivación. El símbolo ∫ es el signo integral, la función f(x) es el integrando y C es la constante de integración. La parte dx indica que x es la variable de integración
         • Algunas reglas generales
           • Dos reglas de derivación son (aF(x))' = aF'(x) y (F(x)+G(x))'=F'(x)+G'(x)
             • Propiedad del múltiplo constante
               • ∫af(x)dx=a∫f(x)dx (a es una constante real)
             • La integral de una suma es la sumad e las integrales
               • ∫[f(x)+g(x)]dx=∫f(x)dx + ∫g(x)dx

4. Problemas con valores iniciales

   • Función F(x) tal que F'(x)=-(x-1)^2 y F(1)=1. Se llama a esto un problema con valores iniciales y a F(1)=1 se le llama condición inicial

5. La integral definida

   • La diferencia F(b)-F(a) se llama integral definida de f en [a,b]
     • La integral definida de f en [a,b] es un número que depende solamente de la función f

6. Observaciones importantes

   • La derivada de la integral definida respecto al límite superior de integración es igual al integrando evaluación en ese límite
   • La derivada de la integral definida respecto al límite inferior de integración es igual a menos el integrando evaluado en ese límite

7. La integral de Riemann

   • Entonces f se llama integrable Riemann o R-integrable en el intervalo [a,b] y se escribe

8. Aplicaciones económicas

   • La integral definida cuando queremos hallar el volumen de un sólido de evolución o longitud de una curva
     • Extracción del petróleo de un pozo
     • Reserva de divisas de un país
       • Si f(t) > 0, esto significa que hay un flujo neto de divisas que entran en el país en el instante t, mientras que f(t) < 0 significa que salen divisas
     • Distribución de la renta
       • La función f se llama la función de densidad de la renta y F se llama la función de distribución acumulada

9. Integración por partes

   • Cuando el integrando está formado por un producto (o una división, que podemos tratar como un producto) se recomienda utilizar el método de integración por partes que consiste en aplicar la siguiente fórmula:
     • ∫ f(x)g'(x)dx = f(x) g(x) - ∫ f'(x)g(x)dx

10. Integración por sustitución

    • se basa en la derivada de la función compuesta.
      • ∫ f(g(x)) g'(x)dx = ∫ f(u)du (u=g(x))
        • Las hipótesis para que esta fórmula sea válida son las siguientes : g es continuamente derivable y f(u) es continua para todo u perteneciente al rango de g

11. Casos complicados

12. Extensión del concepto de integral

    • Integrales de ciertas funciones discontinuas
    • Intervalos de integración infinitos
    • Teste de comparación para la convergencia

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