CÁLCULO DIFERENCIAL & INTEGRAL II

CÁLCULO DIFERENCIAL & INTEGRAL II

1. PRIMITIVAS

   • Seja f uma função definida em um intervalo I. Uma função F é dita primitiva (ou antiderivada) de f em I se F’(x) = f(x) para todo x∈I.
     • A definição acima nos diz que as primitivas de uma função f(x) sempre estão definidas em algum intervalo. Nos casos em que não explicitarmos o intervalo e nos referirmos a duas primitivas da mesma função f, então ficará subentendido que essas funções são primitivas de f no mesmo intervalo I
       • Teorema. Se F é uma primitiva de f em um intervalo I, então F(x)+C é uma primitiva geral de f em I, em que C é uma constante arbitrária.
         • Proposições: a) Seja F(x) uma primitiva da função f(x). Então, se C é uma constante qualquer, significa que a função G(x)=F(x)+C também é primitiva de f(x); b) Se f’(x) se anula em todos os pontos de um intervalo I, então f é constante em I; c) Se F(x) e G(x) são funções primitivas de f(x) no intervalo I, então existe uma constante C tal que G(x)-F(x)=C para todo x∈I. Na Tabela 1.1 listamos algumas das primitivas particulares, tal que para obtermos a primitiva mais geral, em um dado intervalo, é preciso adicionar uma constante

2. INTEGRAL INDEFINIDA

   • Se F(x) é uma primitiva de f(x), então a expressão F(x)+C é chamada de integral indefinida da função f(x) e é denotada por ∫f(x)dx = F(x)+C. O símbolo ∫ é denominado de sinal de integração, a função f a ser integrada é denominada de integrando, a constante C é chamada de constante de integração, e o símbolo dx serve para identificar a variável de integração. O processo que nos possibilita encontrar a integral indefinida é denominado de integração. E a partir da definição de integral indefinida, podemos concluir que: ∫f(x)dx = F(x)+C ↔ F ’(x) (C)’= f(x)+0=f(x) Por definição, considerando f, g: I↔ℝ e k uma constante, então uma integral indefinida tem as seguintes propriedades elementares: i)∫ k.f(x) dx = k ∫ f(x) dx Demonstração: ∫ k.f(x) = k.F(x)+k.C =k [F(x)+C] =k ∫ f(x) dx ii)∫ f(x)+g(x) dx = ∫ f(x) dx +∫ g(x) dx

3. INTEGRAÇÃO POR SUBSTITUIÇÃO

   • Considerando f(x) e F(x) duas funções tais que F’ (x) = f(x). Supondo que g seja outra função derivável tal que a imagem de g esteja contida no domínio de f, então pela regra da cadeia temos que: [F(g(x))]’ = F ’(g(x)).g ’(x) = f(g(x)).g ’(x)
     • Isto significa que F(g(x)) é uma primitiva de f(g(x)).g ’(x). Temos então que: ∫ f(g(x)).g ’(x) dx = F(g(x)) + C (1) Fazendo u = g(x), du = g ’(x) dx e substituindo em (1), obtemos que: ∫ f(g(x)).g’ (x) dx =∫ f(u) du = F(u)+C
       • Isto significa, caro(a) aluno(a), que podemos definir uma função u = g(x) conveniente, de modo que a integral resultante seja mais simples de ser calculada.
         • Em suma, os seguintes passos devem ser tomados: 1) Em ∫ f(g(x)).g ’(x) dx substitua u = g(x) e du = g ’(x) dx para obter a integral ∫ f(u) du 2) Integre em relação a u 3) Substitua u por g(x) no resultado

4. INTEGRAÇÃO POR PARTES

   • Considerando f(x) e g(x) funções que são deriváveis em um intervalo I, então, pela regra do produto temos que: d/dx [f(x).g(x)] = f(x).g ’(x)+g(x).f ’(x)
     • Ao integrarmos ambos os lados, obtemos que: ∫ f(x).g ’(x) dx = ∫ [f(x).g(x)]’ dx - ∫ g(x).f ’(x) dx ∫ f(x).g ’(x) dx = f(x).g(x) - ∫ g(x).f ’(x) dx
       • Fazendo u = f(x), du = f ’(x) dx e v = g(x), dv = g ’(x) dx, então, a expressão anterior pode ser reescrita como: ∫ u dv = u.v - ∫ v du Que é a fórmula da integração por partes que utilizaremos neste estudo.
         • Cada regra de derivação tem outra correspondente de integração. Por exemplo, a regra de substituição para integração corresponde à regra da cadeia para a derivação. Aquela que corresponde à regra do produto para a derivação é chamada integração por partes

5. APROXIMANDO ÁREAS

   • nosso conhecimento o cálculo de áreas de algumas figuras geométricas, como a de um retângulo (comprimento×largura) ou de um triângulo ((base×altura)/2). No entanto, como poderíamos determinar a área que surge entre o gráfico de uma função f(x)=x2 , delimitada pelo eixo dos x e por duas retas x=0 e x=1?
     • Para resolver este problema que envole um contorno curvilíneo, podemos aproximar a área desejada por retângulos, cujas áreas são calculadas pelos métodos da geometria elementar. Inicialmente, vamos dividir o intervalo [0,1] em quatro subintervalos iguais:
       • Na sequência, vamos construir quatro retângulos com esses subintervalos como base e com alturas dadas pelos valores da função nas extremidades dos subintervalos
         • Agora, vamos somar as áreas dos quatro retângulos:
           • Caso nós aumentássemos o número de retângulos, então seríamos capazes de obter uma melhor estimativa. Na tabela seguinte apresentamos a área resultante com o aumento dos retângulos,
             • A letra grega maiúscula ∑significa “soma”. O indice i nos diz onde começa a soma (no número sob o ∑) e onde ela termina (no número acima do ∑). Quando o símbolo ∞ aparece acima do ∑, significa que os termos continuam indefinidamente.

6. INTEGRAL DEFINIDA

   • De acordo com Thomas et al. (2012, p. 285), “a ideia por trás da integração é que podemos efetivamente calcular tais quantidades dividindo-as em pequenas partes e, em seguida, somando as contribuições de cada parte”. Assim, se no processo somatório levarmos em conta partes cada vez menores, como vimos anteriormente, se o número de termos tendem ao infinito e ainda, se tomarmos o limite dessas somas, o resultado será uma integral definida.
     • Considerando f uma função definida no intervalo [a,b], e P uma partição qualquer de [a,b], então a integral definida de f de a até b, denotada por ∫a b f(x) dx é dada por:
       • Desde que o limite exista. O símbolo ∫ foi introduzido por Leibniz e é denominado sinal de integral. Ele é um S alongado e foi assim escolhido porque uma integral é um limite de somas. Na notação ∫a b f(x) dx, f(x) é chamado integrando, a e b são ditos limites de integração, a é o limite inferior, b, o limite superior. Por enquanto, o símbolo dx não tem significado sozinho; ∫a b f(x) dx é apenas um simbolo. O dx simplesmente indica que a variável dependente é x. O procedimento de calcular a integral é chamado integração

7. O TEOREMA FUNDAMENTAL DO CÁLCULO

   • Para demonstrarmos o Teorema Fundamental do Cálculo, vamos considerar a integral definida ∫a b f(t) dt, em que fixaremos o limite inferior e faremos variar o limite superior. Dessa forma, o valor da integral dependerá desse limite superior variável, que vamos chamar de x. Fazendo x variar no intervalo [a,b], então a função F: [a,b]→ℝ será definida por:
     • De acordo com o Teorema Fundamental do Cálculo, F(x) é uma função derivável em todos os pontos x∈[a,b], cuja derivada é f em si, ou seja:
       • Assim, podemos estabelecer o Teorema parte 1, observe: Teorema Fundamental do Cálculo, parte 1: se f é contínua em [a,b], então F(x) = ∫a x f(t) dt é contínua em [a,b] e derivável em (a,b), e sua derivada é f(x):

8. INTEGRAIS DEFINIDAS POR SUBSTITUIÇÃO E INTEGRAIS DE FUNÇÕES SIMÉTRICAS

   • Existem dois métodos para calcular uma integral definida por substituição. Um dos métodos consiste em encontrar por substituição a integral indefinida correspondente e usar uma das primitivas para calcular a integral definida usando o Teorema Fundamental do Cálculo. Veja o Exemplo abaixo:

9. INTEGRAIS TRIGONOMÉTRICAS

   • Integrais de potências de seno e cosseno Sempre que tivermos integrais que envolvam potências de seno e cosseno podemos recorrer às seguintes identidades trigonométricas:

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