CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II

CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II

1. INTEGRAIS IMPRÓPRIAS

   • A integral imprópria é uma extensão da integral de Riemann, e permite, por exemplo, calcular a área de uma região sob o gráfico de uma função não limitada ou definida num intervalo não limitado.

2. APLICAÇÕES DAS INTEGRAIS DEFINIDAS: ÁREA ENTRE CURVAS E VOLUME

   • as integrais definidas surgiram do problema de determinação da área abaixo do gráfico de uma função e acima do eixo x, e por isso é natural pensarmos que também podemos utilizar uma integral definida para encontrarmos a área entre duas funções contínuas.

3. NTEGRAL INDEFINIDA

   • A integral indefinida de uma função pode ser vista exatamente assim: como a família de primitivas da função. Ela também possui uma notação especial.

4. INTEGRAÇÃO POR SUBSTITUIÇÃO

   • A integração por substituição é essencialmente o inverso da regra da cadeia para derivadas.

5. INTEGRAÇÃO POR PARTES

   • No cálculo integral, integração por partes é um método que permite expressar a integral de um produto de funções em outra integral. A integração por partes pode ser vista como uma versão integrada da regra do produto.

6. PRIMITIVAS

   • Uma primitiva para uma função f=f(x) é uma outra função F=F(x) cuja derivada coincide com f, isto é, F′(x)=f(x)

7. INTEGRAL DEFINIDA

   • A integral definida pode ser interpretada como a área resultante de uma região. Além disso, ela é um valor em seu resultado, ou seja, não depende da variável x, podendo esta ser trocada por qualquer outra variável sem a alteração do valor da integral.

8. O TEOREMA FUNDAMENTAL DO CÁLCULO

   • O teorema fundamental do cálculo (TFC) estabelece uma relação entre os conceitos de derivada e integral. Em termos práticos, ele fornece um método muito poderoso para calcular integrais sem recorrer a definição como limite de um somatório. O TFC também leva naturalmente a noção de integral indefinida.

9. INTEGRAIS DEFINIDAS POR SUBSTITUIÇÃO E INTEGRAIS DE FUNÇÕES SIMÉTRICAS

   • Existem dois métodos para calcular uma integral definida por substituição. Um dos métodos consiste em encontrar por substituição a integral indefinida correspondente e usar uma das primitivas para calcular a integral definida usando o Teorema Fundamental do Cálculo.

10. INTEGRAIS TRIGONOMÉTRICAS

    • é possível utilizar identidades trigonométricas para a solução de problemas que envolvam a integração de potências de seno e cosseno, integração de produtos de seno e cosseno, integrais de funções envolvendo seno e cosseno de arcos diferentes, integração de potências de tangente e de secante e integração de produtos de tangente e de secante.

11. INTEGRAÇÃO POR SUBSTITUIÇÃO TRIGONOMÉTRICA

    • O método da Integração por Substituição Trigonométrica é utilizado para resolver integrais em que seu integrando contém uma destas três expressões algébricas: \displaystyle \sqrt{a^{2}-x^{2}}, \displaystyle \sqrt{a^{2}+x^{2}} ou \displaystyle \sqrt{x^{2}-a^{2}} onde a é uma constante positiva. O método tem como base a substituição destas expressões algébricas por expressões trigonométricas. Por sua vez, as expressões trigonométricas são encontradas nos triângulos retângulos através do Teorema de Pitágoras. Onde seus lados são a, x e o termo raiz, que conforme o caso, assume diferentes lados do triângulo.

12. INTEGRAÇÃO DE FUNÇÕES RACIONAIS POR FRAÇÕES PARCIAIS

    • É possível expressar uma integral de uma função racional como uma soma de frações mais simples de serem integradas, as chamadas frações parciais. Vamos nos lembrar que uma fração racional é da forma f(x)= , em que p(x) e q(x) ≠ 0 são duas funções polinomiais