Álgebra Linear e Geometria Analítica

Álgebra Linear e Geometria Analítica

1. VETORES

   • *Grandeza escalar é quando se tem apenas apenas um número e sua unidade correspondente (m, kg, m², etc.). *Grandeza Vetorial é quando se tem mais informações além do número escalar, por exemplo, para indicar uma força ou velocidade, é preciso indicar a direção e o sentido do vetor. *Além das direções (horizontal e vertical), tem os sentidos (para cima, baixo, direita ou esquerda). *Para definir um vetor é preciso entender o segmento orientado* Um Vetor Y pode ser definido como um conjunto de segmentos equipolentes a um segmento orientado OP.
     • Classificação dos vetores: Nulo, Iguais, opostos, unitário, versor, colineares e coplanares.

2. ESPAÇOS VETORIAIS: DEFINIÇÃO E EXEMPLOS DE OPERAÇÃO ENTRE VETORES

   • R é o conjunto de números reais, o símbolo R^n representa o espaço vetorial euclediano n-dimensional, então podemos ter: R¹ -reta numérica; R² - - plano euclidiano e R³ -espaço euclidiano tridimensional

3. COORDENADAS CARTESIANAS NO ESPAÇO BIDIMENSIONAL

   • Antes de posicionar um vetor em um espaço vetorial bidimensional, ´importante entender o sistema cartesiano ortogonal. *Pares ordenados: para traçar um vetor em um sistema cartesiano, precisa-se de, no mínimo, um conjunto de dois pares ordenados, o que representa a origem do vetor e o que representa a extremidade. *Através de dois pontos no plano cartesiano, é possível calcular a distância entre eles. *Também é possível colocar um vetor em um sistema cartesiano por meio de coordenadas polares

4. COORDENADAS CARTESIANAS NO ESPAÇO TRIDIMENSIONAL

   • O sistema tridimensional é composto por três eixos principais (x,y,z), são os eixos cartesianos, este espaço tridimensional é composto por 3 planos xy, yz e xz, são os planos cartesianos. *Triplas ordenadas são os pontos situados em espaços tridimensionais com as coordenadas triplas. *As coordenadas polares podem ser de dois tipos: sistemas cilíndricos e esféricos.

5. SISTEMAS LINEARES – MATRIZES

6. MÉTODOS DE SOLUÇÃO DE SISTEMAS LINEARES

   • • *Método da substituição: basta isolar uma variável e substituir nas demais equações. *Método da comparação: mais usados em sistemas de apenas duas equações, isola-se a mesma variável nas duas equações, e so comparar as duas, encontra-se a outra variável.

7. MATRIZES: FORMA ESCADA

   • Toda matriz não nula possui uma matriz equivalente na forma de escada reduzida por linha, para uma matriz se calculada pela forma escada, precisa atender alguns critérios:1-linhas nulas da matriz estarão abaixo das linhas não nulas. 2-a cada linha que desce, há um elemento igual a 1 à direita do elemento da linha anterior (forma escada). 3-se uma coluna contém o 1º elemento não nulo de alguma linha, então todos os outros elementos desta coluna são iguais a zero.

8. MATRIZ INVERSA E DETERMINANTE DE UMA MATRIZ

   • *Toda matriz inversa deve ser quadrada, caso uma matriz não tenha sua matriz inversa, ela é denominada matriz singular ou não invertível. Um teorema importante no estudo de matriz inversa é que, ao multiplicar a matriz original por sua matriz inversa, o resultado será a matriz identidade. *Determinante de uma matriz: para toda matriz quadrada, é possível encontrar seu determinante, eles são utilizados como por exemplo para descobrir se uma matriz é inversível, se um sistema admite ou não solução, entre outros. *Regra de Sarrus: para encontrar o determinante de uma matriz 3x3 por essa regra, basta: 1-reproduzir as 2 primeiras linhas ou colunas. 2-encontrar a soma dos produtos das 3 diagonais. 3-substrair a soma dos produtos das 3 diagonais pela soma dos produtos das 3 diagonais da direção oposta.

9. EXPANSÃO DE COFATORES, FÓRMULA DE LAPLACE E REGRA DE CRAMER

   • *Para encontrar o determinante de uma matriz superior a 3x3, como por exemplo, 4x4 ou 5x5, utiliza-se a fórmula de Laplace, que se resume na soma de todos os elementos de uma linha ou coluna por seus respectivos cofatores. *Regra de Cramer é muito utilizada para resolver sistemas lineares através de determinantes, ela se resume: xn=det(An)/det (A).

10. SUBESPAÇO DE UM ESPAÇO VETORIAL

    • O subespaço vetorial é um espaço vetorial dentro de outro espaço vetorial.

11. COMBINAÇÃO LINEAR

    • Através da combinação linear é possível encontrar novos vetores dados, utilizando escalares. A combinação linear também está presente no estudo de determinante de matrizes. Quando os elementos de uma linha ou coluna da matriz forem combinações lineares de elementos das linhas ou colunas paralelas, o determinante da matriz será nulo.

12. BASE DE UM ESPAÇO VETORIAL

    • *Base é um conjunto de vetores que gera um subespaço vetorial. *Define-se dimensão de um espaço vetorial o número de vetores que está contido em uma base de um espaço vetorial.

13. TRANSFORMAÇÕES LINEARES: AUTOVALORES E AUTOVETORES

    • *Transformação linear é quando transformamos um espaço vetorial e um outro espaço vetorial, podendo alterar a dimensão do espaço ou não. *Autovalores e autovetores: todo autovetor precisa de autovalor.

14. PRODUTOS ENTRE VETORES

    • *Produto escalar é quando multiplicamos um vetor por outro vetor. *Versor de um vetor- todo versor é um vetor unitário. *O produto vetorial de dois vetores, que é diferente do produto escalar, gera-se um terceiro vetor na direção ortogonal a eles.

15. EQUAÇÃO DA RETA

    • Algumas propriedades da reta no espaço vetorial são a equação vetorial da reta, equação paramétrica da reta, equação simétrica da reta, retas paralelas e ângulo de duas retas

16. EQUAÇÃO DO PLANO

    • Aqui podemos ter a equação geral do plano e a equação paramétrica do plano. Em um plano, pode haver infinitos pontos em qualquer direção, diferentemente das retas. É possível encontrar qualquer vetor em um plano através da equação geral do plano. A equação paramétrica do plano é muito utilizada para encontrar um ponto qualquer no plano através da soma de dois vetores não colineares (três pontos colineares são necessários para delimitar um plano).

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