Números Complexos

Números Complexos

1. A ideia de número complexo

   • Chama-se número complexo (em sua forma algébrica) todo número da forma:
     • z = a + bi com a, b e R
     • Dessa maneira, podemos pensar que:
       • Número imaginário puro: número complexo cuja parte real é nula.
       • Número real: número complexo cuja parte imaginária é nula.
     • Se i = V-1, então i² = -1.
       • Com esse novo conjunto, podemos, por exemplo, resolver equações quadráticas sem nos preocupar com radicais negativos.
     • Com esse novo conjunto, podemos, por exemplo, resolver equações quadráticas sem nos preocupar com radicais negativos.
       • Ex.: x² -6x + 13 = 0
     • Números complexos conjugados
       • Dois números complexos cujas partes reais são iguais e as partes imaginárias têm sinais opostos entre si. Assim, se z = a + bi é um número complexo, com a, b e R, indicamos seu conjugado por Z = a - bi.
     • Igualdade de números complexos
       • Dizemos que dois números complexos são iguais quando suas respectivas partes reais e imaginárias são iguais entre si, isso significa que, se z = a +bi = c + di, então a = c e b = d, lembrando que a, b, c, d e R.

2. Operação com números complexos

   • Adição: Propriedades comutativa e associativa; existência do elemento neutro (z = 0 + 01) e do inverso aditivo.
   • Multiplicação: propriedades comutativa, associativa e distributiva da multiplicação em relação à adição; existência do elemento neutro (z = 1 + 0i) e do inverso multiplicativo de um número complexo não nulo.

3. Potências de números complexos

   • Propriedades de potências
     • Sejam z e w números complexos quaisquer, e p e q, expoentes inteiros. Obedecidas as condições de existência (z, w =/ 0 quando necessário), valem as seguintes propriedades:

4. Representação geométrica de números complexos

   • Plano de Argand-Gauss

5. Módulo de números complexos

   • A cada número complexo z = a + bi, com a, b e R, associamos um ponto do plano de Argand-Gauss. Esse ponto é chamado de *Afixo*, sendo indicado por P(a,b).
   • A distância entre o afixo e a origem O(0, 0) é chamada de módulo do número z e indicada por /z/z.
   • Para determinar o módulo de um número complexo, relembremos o cálculo da distância entre dois pontos (que é consequência do teorema de Pitágoras);
     • Da,b = V (xb - xa)² + (yb - ya)²

6. Argumentos de números complexos

   • Quando representamos um número complexo z = a + bi no plano, temos um segmento que liga a origem ao ponto P(a,b), como está indicado na figura a seguir.
   • Argumento:
     • Ângulo (no sentido horário) formado entre o eixo real e o segmento composto pela origem O(0, 0) e o ponto P(a, b), que representa o complexo z = a + bi no plano de Argand- Gauss

7. Forma trigonométrica de números complexos

   • z = /z/ (cos a + i . sen a)
     • Essa expressão é conhecida como forma trigonométrica do número complexo z.

8. Produtos, divisões e potências com a forma trigonométrica

   • Em algumas aplicações, sobretudo quando se utilizam aproximações, é necessário o cálculo de potências elevadas de alguns números, como, por exemplo, calcular de maneira rápida a potência:
     • (V3/2 + 1i/2i)¹00
   • sen (a + b) = sen a . cos b + sen b . cos a
     • sen (a - b) = sen a . cos b - sen b . cos a
       • cos (a + b) = cos a . cos b - sen a . sen b
         • cos (a + b) = cos a . cos b + sen a . sen b

9. Radiciação de números complexos

   • Todo número complexo possui n raízes complexas distintas, todas com mesmo módulo e argumentos diferentes em progressão aritmética.
   • Quando representadas como pontos no plano de Argand-Gauss, as raízes formam os vértices de um polígono regular de n lados com centro na origem do sistema.

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