Vectores

Vectores

1. ELEMENTOS

   • MODULO:
   • DIRECCION
   • SENTIDO

2. CLASIFICACION

   • vectores libres
     • no estan aplicados en determinado punto
     • vectores deslizantes
       • su punto de aplicacion puede deslizar a lo largo de su recta de accion
       • vectores fijoo ligados
         • esta aplicados en un determinado punto
         • vectores unitarios
           • vectores de mòdulo uno
           • vectores concurrentes o angulares
             • vectores cuyas direcciones o lineas de acciòn pasan por un mismo punto. 
             • vectores opuestos
               • vectores de igual magnitud y direcciòn, pero sentidos contrarios
               • vectores colineales
                 • vectores que comparten una misma recta de accion
                 • vectores paralelos
                   • vectores cuyas lineas de accion son paralelas
                   • vectores coplanarios
                     • vectores cuyas rectas de acciòn son coplanarias

3. PROPIEDADES DE LOS VECTORES

   • COMUTATIVA
     • es la propiedad donde el orden de los sumandos no altera la suma. Sean A y B dos vectores cualesquiera entonces, A+B = B+A.
   • ASOCIATIVA
     • es la propiedad donde la forma de agrupar los vectores no altera la resultante (la suma). Sean A y B dos vectores cualesquiera entonces, (A+B)+C = A+(B+C).
   • DISTRIBUTIVA
     • es la propiedad que relaciona la multiplicación y la suma. Sean A y B dos vectores cualesquiera entonces, k(A+B) = kA+kB.
   • INVERSO ADITIVO
     • es la propiedad donde la suma de un vector y su vector opuesto es cero. Sean A y -A dos vectores cualesquiera entonces, A+(-A) = 0.

4. VECTORES CANONICOS

   • Los vectores canónicos son aquellas que tienen un modulo igualdad a la unidad y que son paralelos a un eje de coordenada en particular. Existen tres vectores canónicos que son: V(0,0,1) V(0,1,0) V(1,0,0) Los vectores son elementos matemáticos que poseen un modulo, sentido y dirección. En este caso estos vectores son particulares porque su modulo es la unidad y cada uno de ellos es paralelo a un eje. Son fundamentales en las operaciones vectoriales.

5. PRODUCTO PUNTO Y PRODUCTO CRUZ

   • PUNTO
     • El Producto punto de dos vectores será un numero escalar y se hará de la siguiente manera: Teniendo los vectores U = (X1,Y1,Z1) y V = (X2,Y2,Z2) El producto punto es U.V y sería igual a = X1.X2 + Y1.Y2 + Z1.Z2 = K K es el escalar resultante a la multiplicación de los vectores. Es decir el producto punto es la suma de las mediciones multiplicadas por sus respectivas de los vectores. Para sacar la magnitud del producto punto de los vectores es elevar el resultado al cuadrado y sacar su raíz, prácticamente igual que como lo hacíamos solo que aquí sera nada mas del escalar. Si se pide la magnitud de los vectores dados es igual que como lo veníamos haciendo.
     • Pero para la dirección si cambia un poco, existen dos maneras de sacar la dirección de un producto punto: 1) La primera es Θ = Cos^-1 [U.V(Producto Punto) / |U||V| Es decir, para sacar la dirección es el coseno a la menos 1 de la division del producto punto entre la multiplicación de las magnitudes de los dos vectores. 2) Y la segunda da el mismo resultado pero es primero sacar Beta y después alfa y restar ambas. En formulas sería: β = Tan^-1 Y1/X1 ∝ = Tan ^-1 Y2/X2 Θ = β – ∝ Ambas maneras de sacar la dirección deben de llegar al mismo resultado. A continuación un ejemplo para dejar en claro como hacer el producto punto, sacar su magnitud y dirección. 1. Calcular el producto punto de los siguientes vectores, así como su magnitud y dirección. U = (3,7) V = (6,3) U.V = 3.6 + 7.3 = 18 + 21 = 39 |U.V| = √39^2=39 Para la dirección usaremos ambas maneras para que vean que con las dos se puede llegar al mismo resultado 1) Hay que primero calcular las magnitudes de U y V que so
   • CRUZ
     • El producto cruz no se puede para todo, para que se pueda sacar el producto cruz a los vectores debe de ser para aquellos vectores en tercera dimensión (3D). El Producto cruz es el determinante de la matriz que se genera por los dos vectores con la primer linea de i, j y k. Es decir como resultado tendremos un vector  y para poder calcularlo hay que hacer el uso de determinantes.
     • Teniendo U = ai + bj + ck V = di + ej + fk [i j k] UxV = Det [a b c] [d e f] [i j k] VxU = Det [d e f] [a b c] Lo que nos lleva a que UxV = VxU entonces no importa de que manera efectuemos para sacar nuestro producto cruz es igual. Para el Producto cruz sacar su magnitud es igual la suma de los cuadrados de sus constantes del vector y su area es de un modo distinto porque se produce un paralelogramo. Para este paralelogramo primero se saca su area, pero lo curioso es que su area es igual que la magnitud solo que añadiendo unidades cuadradas. Y para la dirección se hace de la siguiente manera Θ = Sen ^-1 [|UxV| / |U||V|]. Es decir, el seno a la menos 1 de la division de la magnitud del producto cruz sobre la multiplicación de las magnitudes de los vectores. A continuación un ejemplo para que sea mas gráfica la apreciación de como obtener el producto cruz de dos vectores. 1. Calcular el producto cruz de los siguientes vectores: U = 2i +3j + k V = i + j + 2k UxV = Det