La Hipérbola

La Hipérbola

1. Historia

   • Hipérbola proviene de la palabra griega ὑπερβολή la cual significa exceso, y es el cognado del término literario hipérbole
     • Las curvas cónicas, fueron estudiadas por matemáticos de la escuela Griega hace mucho tiempo.
       • Se dice que Menaechmus (380 A. C.- 320 A. C.), fue el que descubrió las secciones cónicas y el primero en enseñar que las parábolas, hipérbolas y elipses eran obtenidas al cortar un cono en un plano no paralelo a su base.
         • Menaechmus realizó sus descubrimientos de las secciones cónicas cuando él trataba de resolver un problema de duplicar un cubo. Descubrimientos que fueron confirmados posteriormente por los también geómetras Proclo y Eratóstenes.
           • Apollonius de Perga fue otro matemático que estudio las cónicas. Poco se sabe de su vida pero su trabajo tuvo una gran influencia en el estudio de las matemáticas.
             • Apollonius escribió libros que introdujeron términos que hasta hoy son conocidos como parábola, hipérbola y elipse.

2. Definición

   • En general, es una curva plana, abierta y simétrica.
     • Su simetría es axial respecto a dos ejes perpendiculares entre sí y central respecto a un punto llamado centro de la hipérbola.
       • También se define como el lugar geométrico de los puntos del plano tales que la diferencia de sus distancias a dos puntos fijos llamados focos es constante.
         • Dicha constante resulta ser la longitud del eje transverso de la hipérbola.
       • Además, la hipérbola forma parte del grupo geométrico llamado cónicas junto a la circunferencia, la elipse y la parábola.
         • Por lo tanto, una hipérbola se trata de una sección cónica, o dicho de otra forma, se puede obtener a partir de un cono.
           • En particular, una hipérbola es el resultado de cortar un cono mediante un plano con un ángulo menor que el ángulo que forma la generatriz del cono respecto a su eje de revolución.

3. Ecuaciones

   • La Ecuación general es:
     • De esta ecuación salen otras, tales que:
       • Hipérbola horizontal con centro en el origen:
       • Hipérbola vertical con centro en el origen:
       • Hipérbola horizontal con centro en (ℎ,k):
       • Hipérbola vertical con centro en (ℎ, k):
     • donde A y C son de signo diferente.
   • Ecuaciones en coordenadas polares
     • Hipérbola abierta de derecha a izquierda:
       • Hipérbola abierta de arriba abajo:
         • Hipérbola abierta de noreste a suroeste:
           • Hipérbola abierta de noroeste a sureste:
             • Hipérbola con origen en el foco derecho:
               • Hipérbola con origen en el foco izquierdo:
   • Ecuaciones paramétricas
     • En todas las fórmulas h y k son las abcisa y ordenada, respectivamente, del centro de la hipérbola, a es la longitud del semieje mayor, b es la longitud del semieje menor.
       • Hipérbola abierta de derecha a izquierda:
         • Hipérbola abierta de arriba abajo:

4. Elementos

   • focos
     • (F y F') Puntos fijos en los que la diferencia de distancia entre ellos y cualquier punto de la hipérbola es siempre la misma.
   • Eje focal o principal
     • Es la recta que pasa por los dos focos de la hipérbola y corresponde a un eje de simetría de dicha figura geométrica.
   • Eje secundario
     • Es la mediatriz del segmento FF’, siendo la recta que pasa por los puntos B y B’. Además, es una recta perpendicular al eje focal y es otro eje de simetría de la hipérbola
   • Centro (O):
     • Es el punto de intersección de los dos ejes y el punto medio de los dos vértices y los dos focos. Como la hipérbola tiene dos ejes de simetría, también es el centro simétrico.
   • Vértices (A y A’)
     • Son los puntos donde se cortan las ramas de la hipérbola con el eje focal.
   • Radios vectores (R)
     • Son los segmentos que van desde cualquier punto de la hipérbola hasta cada foco.
   • Distancia focal
     • Es la longitud del segmento compuesto entre los dos focos.
   • Eje mayor o real
     • Es el segmento que va desde el punto A hasta el punto A’, su longitud es equivalente a 2a.
   • Eje menor o imaginario
     • Es el segmento que va desde el punto B hasta el punto B’, su longitud es equivalente a 2b.

5. Características

   • Es una curva plana, por lo tanto basta con dar las coordenadas (x,y) de cada punto que le pertenece para conseguirla..
   • Es una curva abierta, a diferencia de la circunferencia o de la elipse.
   • La excentricidad de las hipérbolas es mayor que 1.
   • Las hipérbolas tienen dos líneas asíntotas, hacia las cuales se acercan, pero nunca tocan.
   • Las asíntotas intersecan en el centro de la hipérbola.
   • Tiene dos ramas dispuestas simétricamente.

6. Excentricidad

   • Las ramas de las hipérbolas pueden ser más abiertas o más cerradas. Esta característica se mide mediante la excentricidad de la hipérbola, que es el cociente entre la entre la semidistancia focal c y el semieje real a. Siendo la excentricidad un número mayor que 1.
     • Para un mismo valor de a, cuanto más se aproxima la excentricidad a 1, las ramas de la hipérbola son más cerradas:
     • Por el contrario, cuanto mayor es el valor de la excentricidad, las ramas de la hipérbola son más abiertas:

7. Aplicaciones

   • Tienen un uso practico en el campo de la óptica y de la astronomía, ya que dos cuerpos masivos que interactúan según la ley de gravitación universal, en sus trayectorias describen secciones cónicas si su centro de masa se considera en reposo.
   • Son importantes en la construcción de puentes, aerodinámica y en su aplicación industrial, ya que permiten ser repetidas por medios mecánicos con gran exactitud, logrando superficies, formas y curvas perfectas
   • Determinan la posición de un avión cuando vuela a velocidades supersónicas
   • Define la gráfica de la ecuación presión-volumen cuando la temperatura es constante.
   • El sistema de navegación de largo alcance utiliza sus propiedades de reflexión para funcionar..
   • Define las lecturas del reloj solar.

8. Asíntotas

   • Son dos rectas, cuyas respectivas pendientes son m1 = (b/a) y m2 = − (b/a),
     • Las cuales se cruzan en el centro de la hipérbola
       • La curva nunca intersecta las rectas y el producto entre las distancias de un punto cualquiera de la hipérbola a las asíntotas, es constante.

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