Resumen Álgebra Lineal

Resumen Álgebra Lineal

1. Una Matriz de Tamaño n*m es un arreglo rectangular de números los cuales pueden ser reales o complejos.

   • Están formadas por m filas y n columnas siendo cada una de estas un vector.
     • Estructura de una Matriz
       • • Tipos de Matrices:
           • De acuerdo a sus características las matrices existen varias clases.
             • Matriz cuadrada:
               • Aquella que tiene igual número de Filas que columnas
             • Matriz Diagonal
               • Matriz Cuadrada cuyos elementos diferentes de cero están en la Diagonal
             • Matriz Identidad
               • Matriz diagonal y cuadrada y diagonal cuyos elementos distintos de 0 son 1
             • Matriz Transpuesta
               • Se obtiene cambiando las filas por las columnas
             • Matriz Nula
               • Matriz cuyos elementos son 0
     • Operaciones con Matrices
       • Entre 2 o mas Matrices es posible realizar Suma, Resta y Producto
         • Suma y Resta
           • Dos o Mas matrices pueden sumarse o restarse mediante la operación entre los elementos correspondientes de filas y columnas
         • Producto
           • Se puede realizar cuando el numero de filas de la primera matriz es igual al numero de filas de la segunda matriz
             • El resultado del producto es una matriz nueva con las filas de la primera matriz y las columnas de la segunda
               • Los elementos se obtienen mediante la suma de los productos parciales entre filas y columnas.
           • Producto de una Matriz con un Escalar
             • Sea c un escalar y A m*n una matriz, el producto es una matriz cuyos elementos son el resultado del producto de la constante C por cada elemento de la Matriz A
             • Combinación Lineal
               • Si se dispone de K constantes y matrices de igual tamaño la combinacion lineal de estas matrices es la suma del producto de cada constante por la matiz respectiva.
     • Matrices Inversas.
       • Solo existen en las matrices cuadradas. Si se multiplica a la matriz original por la matriz inversa la respuesta es una matriz identidad. Además pueden resolverse a modo de inecuación
         • Teorema: Si una matriz es invertible o no singular, entonces su matriz inversa es Única. No toda matriz es Invertible o tiene Inversa.
           • Propiedades de la Matriz Inversa:
             • 1) Si una matriz An*n es invertible entonces su inversa también lo es
               • 2) Si 2 matrices A y B son no singulares entonces su producto también lo es
                 • 3) SI una matriz An*n es Invertible o no singular entonces su transpuesta es invertible.
       • Cálculo de la matriz Inversa
         • Mediante las operaciones elementales se pueden realizar sistemas de operaciones para el cálculo de la matriz Inversa.
         • Matriz Aumentada.
           • Es aquella a la cual se le aumentan nuevos elementos con el objetivo de realizar las operaciones elementales para alcanzar lo que se propone en la matriz original.
             • Para realizar el calculo es necesario obtener la matriz aumentada con la identidad de la forma (A|I) y mediante las operaciones elementales transformar la matriz A en la Identidad para de esta manera el resultado en la derecha sea la matriz Inversa (I|AI))
     • Sistemas Lineales e Inversos
       • Este tipo de sistemas se puede representar en la forma matricial:
         • • Sistemas Homogeneos:
             • Es Cuando todos los elementos de la matriz son 0
               • Teorema: Un sistema homogéneo AX=0 Tiene Solución no tribial si y solo si A no tiene inversa, es decir, es singular
           • Rango de una Matriz
             • El rango de una matriz Am*n es el numero de filas que son linealmente independientes
               • Cálculo de Gauss: Mediante operaciones elementales se forman 0 bajo la diagonal bajo la diagonal de forma escalonada. El número de filas diferentes a 0 Es el rango de la matriz
                 • Teorema: Si el rango de una Matriz cuadrada An*n no es n, no tiene Inversa
             • Matriz Binaria
               • Son aquellas matrices cuyos elementos son únicamente 0 y 1
             • Función Determinante
               • Una función determinante es aquella que toma una matriz cuadrada y transforma en un numero
                 • Permutación:
                   • Sea S el conjunto de enteros ordenados de forma ascendente, un reordenamiento de S representa una permutación existiendo en total N! permitaciones
                   • Inversión
                     • En una permutación una inversión es cuando un número mayor precede a uno menor
               • Determinante
                 • Sean An*n una matriz cuadrada cuyos elementos son ai y el determinante tiene notaciones diferentes. Entre ellas Det(a); |A| y se calcula
                   • • Propiedades del determinante
                       • Se realizan mediante teoremas que pueden demostrarse y Verificarse
                         • El determinante de una matriz transpuesta tiene el mismo valor del determinante de la matriz original.
                         • Si se obtiene una matriz B intercambiando 2 filas o columnas de una matriz A, entonces el determinante de A es -Determinante de B
                         • Si una matriz cuadrada tiene filas o columnas de 0 su determinante es 0
                         • Si una matriz cuadrada tiene 2 filas o columnas iguales su determinante es 0
                         • Si se obtiene una matriz B multiplicando por un número real o una matriz B entonces el Determinante de B es igual a K determinante de A
                         • Si una matriz B de tamaño n*n se obtiene al sumar o restar a una fila o columna K veces otra fila o columna
                 • Artificio 3*3
                   • Se aumentan las 2 primeras columnas a la derecha, el producto de las diagonales principales es + y el de las secundarias es -
       • Menores
         • Sea An*n una submatriz M de tamáñó (n-1)(n-1) se obtiene eliminando una fila y una columna.
         • Cofactores
           • Un cofactor se obtiene como:
     • Matriz Adjunta
       • Se denomina matriz adjunta a la transpuesta de la matriz de cofactores
         • Sea An*n, el determinante de la matriz se obtiene escogiendo una fila o columna cualquiera
           • Si An*n siempre se cumple A*Adj(A)=Adj(A) y A=Det(A)In*n
             • Corolario
               • Se desprende del teorema anterior y sirve para calcular la inversa de A
     • Sistemas de Ecuaciones Lineales en Matrices
       • Matriz escalonada por Filas
         • Matriz escalonada reducida por Filas. Esto ocurre cuando se cumplen estas 4 condiciones
           • Si la matriz tiene una o mas filas de 0, estas deben encontrarse al final de las filas
             • El primer elemento distinto de 0, al ir de izquierda a derecha debe ser 1 al que se le denomina como 1 principal.
               • El 1 Principal debe encontrarse abajo y a la derecha del 1 principal de la fila precedente
                 • En la columna del 1 principal el resto de elementos son 0
         • Si una matriz cumple con las tres principales propiedades y no la cuarta se denomina escalonada por filas
           • Si una matriz B se obtiene mediante las 3 operaciones elementales aplicadas sobre A, entonces es equivalente por filas.
             • Teoremas:
               • Toda matriz escalonada por filas es equivalente por filas a la matriz inicial
                 • Toda matriz de tamaño n*m es equivalente por filas a una única matriz escalonada reducida por filas
                   • Teorema principal: Dos sistemas de ecuaciones cuyas matrices aumentadas son (A|b) y (C|d) son equivalentes por filas entonces tiene solución
       • Solución de sistema de ecuaciones lineales
         • Sea un sistema de ecuaciones con N incógnitas existen 3 opciones
           • Si no Existe A^-1 no se puede concluir que el sistema no tenga solución, el SEL Puede resolverse por otro método
           • • 1) El sistema tiene solución única
             • 2) El sistema tiene infinito número de soluciones
             • 3) No tiene solución, es inconsistente
             • Clasificación de soluciones de sistemas de ecuaciones Lineales
               • El tipo de solución se determina mediante el teorema Rouche Frobenius
                 • Relaciona el tipo de solución de un sistema de m ecuaciones con n incógnitas mediante el rango de la matriz de coeficientes A y la matriz aumentada (A|b)
         • Los métodos para resolver son variados y algunos dependen del tamaño de la matriz de coeficientes, pero los mas importantes son:
           • Gauss Jordan
             • En este método la matriz ampliada (A|b) se reduce a una matriz identidad
               • Su objetivo es reducir la matriz en base a las 3 operaciones elementales hasta transformarlas en la identidad, mientras que simultaneamente realizamos las mismas operaciones en la columna de resultados, lo que nos dará finalmente la solución.
                 • La solución de esta matriz es realizar el procedimiento de reducción a matriz identidad, y la columna de resultados son las respuestas empezando por x1 hasta xn.
           • Reducción de Gauss
             • En este método la matriz ampliada (A|b) se reduce a una escalonada por filas obteniendo la matriz triángulo superior
               • Este método se realizadespejando las inecuaciones resultantes del método anterior empezando por la última fila
                 • Conforme se va progresando hasta las filas superiores, se reemplazan los valores que ya se han obtenido en las variables faltantes para obtenerlas una por una
                   • La respuesta de este método son las respuestas a las variables obtenidas empezando con xn hasta llegar a x1, siendo esto la matriz x
           • Mediante la Matriz Inversa
             • En este Método se crea una matriz aumentada A|I donde I es la matriz identidad.
               • El procedimiento a realizar es un despeje similar a Gauss Jordan, en la que se convierte a la matriz A en la identidad mientras que se realizan los procesos simultaneos en la matriz de la derecha, lo que nos da la matriz inversa de A
                 • Una vez hecho esto la matriz de respuesta X se obtiene multiplicando la matriz inversa de A por la matriz de resultados B
           • Por descomposición L.U
             • Este método es recursivo y usado en programación. Consiste en descomponer la matriz de coeficientes A en 2 matrices siendo estas L=Triángulo inferior y U=Triángulo superior
               • El método mas simple para esta resolución consisten en usando la matriz L, la diagonal se considera formada unicamente por 1 y el resto de elementos bajo la diagonal se consideran las constantes para formar los bajos de la diagonal de U
                 • Los pasos a realizar son los siguientes:
                   • Obtener L y U.
                     • Obtener Z realizando un despeje en base a la Ecuación LZ=B
                       • Realizar un despeje en Base a la Ecuación UX=Z
                         • La matriz X es la solución, puede comprobarse en base a la equivalencia AX=B
           • Método de Crammer
             • El método utiliza el cálculo de determinantes siempre y cuando el SEL sea de igual numero de ecuaciones que de incógnitas y el determinante no sea 0
               • Este método se realiza reemplazando la columna de resultados B en cada columna de la matriz y sacar el determinante en cada caso
                 • Dependiendo de en que columna se reemplaze se obtendrá uno de los resultados siendo en el reemplazo en la columna n el resultado xn

2. Sebastián Jácome

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