Relações

Relações

1. Relações de equivalência

   • Diz-se que uma relação R sobre o conjunto A é de equivalência se, e somente se, a relação for reflexiva, simétrica e transitiva.
     • Reflexiva
       • Para todo a em A, tem-se aRa.
     • Simétrica
       • Quaisquer que sejam a, b em A, se aRb, então bRa.
     • Transitiva
       • Quaisquer que sejam a, b, c em A, se aRb e bRc, então aRc.
   • Classe de equivalência
     • Seja R uma relação de equivalência sobre o conjunto A. A classe de quivalência de um elemento a em A é o conjunto [a] de todos os elementos de A com os quais a está relacionado.
     • A coleção das classes de equivalência do conjunto A, representado por A/R, é chamado de conjunto quociente de A por R.
       • Seja R uma relação de equivalência sobre A. Então o conjunto quociente A/R é uma partição de A.

2. Relação de ordem

   • Relação de ordem parcial
     • Relação de ordem total
       • Uma relação de ordem total é também uma relação de ordem parcial.
       • É também parcial e atende a Lei da Dicotomia
         • Lei da Dicotomia
           • Seja uma relação R sobre o conjunto A, temos: aRb ou bRa, para todo a, b pertencentes a A.
     • Reflexiva
       • Seja R uma relação sobre A. Para todo x pertencente a A, tem-se xRx.
     • Antissimétrica
       • Seja R uma relação sobre A. Para todo x, y pertencentes a A, se xRy e yRx, então x = y.
     • Transitiva
       • Seja R uma relação sobre A. Para todo x, y, z pertencentes a A, se xRy e yRz, então xRz.
     • Se R é uma relação de ordem parcial sobre A, então esse conjunto é chamado de parcialmente ordenado por R.
       • Elementos Máximos e Mínimos
         • O elemento máximo M do conjunto parcialmente ordenado A pela relação R, é aquele que para qualquer x em A tem-se xRM. O elemento mínimo m é aquele que para todo x em A, tem-se xRm.
       • Elementos Maximal e Minimal
         • Um elemento maximal é qualquer x do conjunto parcialmente ordenado A por uma relação R, tal que para a pertencente a A , se xRa, então a = x. O elemento minimal de A é qualquer y, tal que para qualquer elemento a pertencente a A, se aRy, então a = y.

3. Definição de Relação

   • Uma relação R do conjunto E em F é um subconjunto do produto cartesiano E x F.