Relações de Equivalência

Relações de Equivalência

1. Toda relação de equivalência sobre um conjunto A

   • não vazio decompõe esse conjunto em subconjuntos disjuntos e não vazios, cuja união é o próprio conjunto A.
   • REFLEXIVA
   • SIMETRICA
   • TRANSITIVA

2. R uma relação binária em A.

   • Dizemos que R é uma relação de equivalência se ela for ao mesmo tempo reflexiva, simétrica e transitiva.
   • Ordem Parcial
     • R é reflexiva
       • R é antissimétrica
         • R é transitiva
   • Ordem Total
     • *R é uma relação de ordem total. *Todo subconjunto não vazio de A tem um menor elemento. Se R é uma boa ordem sobre o conjunto A, então, o conjunto é dito bem ordenado. O conjunto dos números naturais é bem ordenado.
     • lei da Dicotomia
       • aRb ou bRa, para todo a,b pertence A. Esta condição diz que quaisquer dois elementos de A podem comparados pela relação de ordem.
     • lei de Tricotomia
       • Máximo e mínimo
         • se A é um conjunto parcialmente ordenado pela relação R, o elemento máxima de A é o elemento M, tal que para todo x E A tem -se xRM.
       • Maximal e Minimal
         • se A é um conjunto parcialmente ordenado pela relação R, um elemento maximal de A é qualquer elemento x tal que para todo a E A, se XRa então, a = x.