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1. PRIMITIVAS

   • Proposições:
     • a) Seja F(x) uma primitiva da função f(x). Então, se C é uma constante qualquer, significa que a função G(x)=F(x)+C também é primitiva de f(x);
     • b) Se f’(x) se anula em todos os pontos de um intervalo I, então f é constante em I;
     • c) Se F(x) e G(x) são funções primitivas de f(x) no intervalo I, então existe uma constante C tal que G(x)-F(x)=C para todo x∈I.
   • Definição
     • Seja f uma função definida em um intervalo I. Uma função F é dita primitiva (ou antiderivada) de f em I se F’(x) = f(x) para todo x∈I.

2. INTEGRAL INDEFINIDA

   • Definição
     • Se F(x) é uma primitiva de f(x), então a expressão F(x)+C é chamada de integral indefinida da função f(x) e é denotada por ∫f(x)dx = F(x)+C
     • O símbolo ∫ é denominado de sinal de integração, a função f a ser integrada é denominada de integrando, a constante C é chamada de constante de integração, e o símbolo dx serve para identificar a variável de integração
   • Flemming e Gonçalves (2006, p. 333) “o processo de integração exige muita intuição, pois conhecendo apenas a derivada de uma função nós queremos descobrir a função”
   • Utilizando as propriedades das integrais indefinidas e as integrais imediatas podemos calcular a integral indefinida de algumas funções
   • Um problema de valor inicial é aquele em que precisamos determinar uma função y de x quando sabemos sua derivada e seu valor y0 em um ponto particular x0 (THOMAS et al., 2012).

3. INTEGRAÇÃO POR SUBSTITUIÇÃO

   • É possível determinar a integral de uma determinada função, a partir da aplicação de uma das fórmulas básicas depois de ser feita uma mudança de variável

4. INTEGRAÇÃO POR PARTES

   • Cada regra de derivação tem outra correspondente de integração. Por exemplo, a regra de substituição para integração corresponde à regra da cadeia para a derivação.

5. APROXIMANDO ÁREAS

   • A letra grega maiúscula ∑significa “soma”. O indice i nos diz onde começa a soma (no número sob o ∑) e onde ela termina (no número acima do ∑). Quando o símbolo ∞ aparece acima do ∑, significa que os termos continuam indefinidamente.

6. INTEGRAL DEFINIDA

   • De acordo com Thomas et al. (2012, p. 285), “a ideia por trás da integração é que podemos efetivamente calcular tais quantidades dividindo-as em pequenas partes e, em seguida, somando as contribuições de cada parte”.
   • Thomas et al. (2012, p. 349) nos lembra que “todas as funções são integráveis. Isto é, se uma função f é contínua em um intervalo [a,b], então sua integral definida em [a,b] existe”

7. INTEGRAIS DEFINIDAS POR SUBSTITUIÇÃO E INTEGRAIS DE FUNÇÕES SIMÉTRICAS

   • Existem dois métodos para calcular uma integral definida por substituição
     • Um dos métodos consiste em encontrar por substituição a integral indefinida correspondente e usar uma das primitivas para calcular a integral definida usando o Teorema Fundamental do Cálculo
     • O outro método de substituição é a alteração dos limites de integração ao mudar a variável
   • A regra da substituição para integrais definidas pode ser utilizada para simplificar o cálculo de integrais de funções simétricas. Vamos considerar a função f como contínua no intervalo simétrico [-a,a]

8. INTEGRAIS TRIGONOMÉTRICAS

   • Integrais de potências de seno e cosseno
   • Fórmulas de redução ou recorrência
     • Estas fórmulas expressam uma integral com uma potência de uma função em termos de uma integral que envolve uma potência “mais baixa” daquela função
   • Integrais de produtos de seno e cosseno
     • Se a potência do cosseno é ímpar
       • separe um fator de cos x
       • aplique a identidade relevante
       • faça a substituição u = sen x
     • Se a potência do seno é ímpar
       • separe um fator de sen x
       • aplique a identidade relevante
       • faça a substituição u = cos x
     • Se a potência de cosseno é par
       • use a identidade relevante para reduzir as potências de cos x
     • Se a potência de seno é par
       • use a identidade relevante para reduzir as potências de sen x

9. INTEGRAÇÃO DE FUNÇÕES RACIONAIS POR FRAÇÕES PARCIAIS

   • Proposição. Se p(x) é um polinômio com coeficientes reais, então pode ser expresso como um produto de fatores lineares e/ou quadráticos, todos com coeficientes reais.
   • Segundo Flemming e Gonçalves (2006), para desenvolvimento do método, precisamos considerar que o coeficiente de mais alto grau do polinômio do denominador q(x) é 1; caso isto não ocorra, então precisamos dividir o numerador e o denominador da função racional f(x) por esse coeficiente

10. INTEGRAIS IMPRÓPRIAS

    • Integrais impróprias são aquelas com limites de integração infinitos, enquanto que assíntotas verticais são denominadas de descontinuidades infinitas.

11. APLICAÇÕES DAS INTEGRAIS DEFINIDAS: ÁREA ENTRE CURVAS E VOLUME

    • o volume de um sólido cilíndrico é dado por: V=A.h, em que A é a área e h é a altura