CAL. DIF. INTEGRAL II

CAL. DIF. INTEGRAL II

1. PRIMITIVAS

   • função f(x) sempre estão definidas em algum intervalo.
     • (F(x)+C)’ = F’ (x)+(C)’= f(x) + 0 = f(x)

2. INTEGRAL INDEFINIDA

   • Se F(x) é uma primitiva de f(x), então a expressão F(x)+C é chamada de integral indefinida da função f(x) e é denotada por ∫f(x)dx = F(x)+C.

3. INTEGRAÇÃO POR SUBSTITUIÇÃO

   • Considerando f(x) e F(x) duas funções tais que F’ (x) = f(x). Supondo que g seja outra função derivável tal que a imagem de g esteja contida no domínio de f, então pela regra da cadeia temos que: [F(g(x))]’ = F ’(g(x)).g ’(x) = f(g(x)).g ’(x) Isto significa que F(g(x)) é uma primitiva de f(g(x)).g ’(x).

4. INTEGRAÇÃO POR PARTES

   • Considerando f(x) e g(x) funções que são deriváveis em um intervalo I, então, pela regra do produto temos que:

5. APROXIMANDO ÁREAS

   • podemos aproximar a área desejada por retângulos, cujas áreas são calculadas pelos métodos da geometria elementar. Inicialmente, vamos dividir o intervalo [0,1] em quatro subintervalos iguais:

6. INTEGRAL DEFINIDA

   • Considerando f uma função definida no intervalo [a,b], e P uma partição qualquer de [a,b], então a integral definida de f de a até b, denotada por ∫a b f(x) dx é dada por:

7. O TEOREMA FUNDAMENTAL DO CÁLCULO

   • F(x) é uma função derivável em todos os pontos x∈[a,b], cuja derivada é f em si, ou seja: F ’(x) = f(x)

8. INTEGRAIS DEFINIDAS POR SUBSTITUIÇÃO E INTEGRAIS DE FUNÇÕES SIMÉTRICAS

   • Um dos métodos consiste em encontrar por substituição a integral indefinida correspondente e usar uma das primitivas para calcular a integral definida usando o Teorema Fundamental do Cálculo

9. INTEGRAIS TRIGONOMÉTRICAS

   • Sempre que tivermos integrais que envolvam potências de seno e cosseno podemos recorrer às seguintes identidades trigonométricas:

10. INTEGRAÇÃO POR SUBSTITUIÇÃO TRIGONOMÉTRICA

    • a substituição trigonométrica é empregada em integrais que contêm expressões da forma √a2 + x2, √a2 - x2, √x2 - a2 no integrando, nos permitindo substituir os binômios pelo quadrado de um único termo, transformando “várias integrais que contêm raízes quadradas em integrais que podemos calcular diretamente

11. INTEGRAÇÃO DE FUNÇÕES RACIONAIS POR FRAÇÕES PARCIAIS

    • as chamadas frações parciais. Vamos nos lembrar que uma fração racional é da forma f(x)= , em que p(x) e q(x) ≠ 0 são duas funções polinomiais.

12. INTEGRAIS IMPRÓPRIAS

    • são aquelas com limites de integração infinitos, enquanto que assíntotas verticais são denominadas de descontinuidades infinitas
    • descontinuidades infinitas no intervalo de integração
    • intervalos de integração infinitos
    • descontinuidades infinitas e intervalos infinitos de integração

13. APLICAÇÕES DAS INTEGRAIS DEFINIDAS: ÁREA ENTRE CURVAS E VOLUME

    • Área entre curvas
    • Volume

14. APLICAÇÕES DAS INTEGRAIS DEFINIDAS: SÓLIDOS DE REVOLUÇÃO E ÁREA DE UMA SUPERFÍCIE DE REVOLUÇÃO

    • é uma figura sólida obtida a partir da rotação de uma curva plana qualquer em torno de alguma linha reta que situa-se no mesmo plano
    • Sólidos de revolução: método do disco A(x) = π (raio)2 = π(R(x))2
    • Sólidos de revolução: método do anel A(x) = π(R(x))2 - π(r(x))2
    • Área de uma superfície de revolução

15. APLICAÇÕES DAS INTEGRAIS DEFINIDAS: COMPRIMENTO DE UMA CURVA PLANA Y=F(X) E TRABALHO

    • Comprimento de uma curva plana y=f(x)
    • Trabalho: refere “a uma força que atua sobre um corpo (ou objeto) e ao deslocamento subsequente desse corpo : W=F.d

16. SISTEMAS DE COORDENADAS ESPECIAIS

    • coordenadas polares
    • COORDENADAS CILÍNDRICAS
      • coordenadas esféricas

17. No estudo apresentado foi possível entender a teoria do universo das integrais, no processo foi informado como encontrar primitivas de uma função de uma variável real, ou seja, uma antiderivação. Com a introdução do Teorema Fundamental do cálculo permitiu a conexão com o cálculo diferencial e o cálculo integral. Com algumas fórmulas básicas de integração e técnicas de elaboração pôde ser fatorado cálculo de integrais por método da substituição, a integração por partes, integral definida para limites de integração infinitos; essas integrais são chamadas de integrais impróprias. cálculo de área entre, curvas, volume, comprimento de uma curva plana e trabalho, todos com a finalidade de resolução ou encontro de um determinado valor ou numero.

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