CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II

CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II

1. INTEGRAL

   • Definida
     • Teorema do valor médio
       • Se f é uma função contínua em [a,b], então existe um ponto c entre a e b tal que ∫a b f(x) dx = (b-a).f(c).
     • Considerando f uma função definida no intervalo [a,b], e P uma partição qualquer de [a,b], então a integral definida de f de a até b
       • quando a função f é contínua e não negativa no intervalo [a,b], então a definição da integral definida coincide com a definição da área
   • Indefinida
     • Se F(x) é uma primitiva de f(x), então a expressão F(x)+C é chamada de integral indefinida da função f(x) e é denotada por ∫f(x)dx = F(x)+C.
       • O processo que nos possibilita encontrar a integral indefinida é denominado de integração.
         • O símbolo ∫ é denominado de sinal de integração, a função f a ser integrada é denominada de integrando, a constante C é chamada de constante de integração, e o símbolo dx serve para identificar a variável de integração.

2. INTEGRAÇÃO

   • Por substituição
     • é possível determinar a integral de uma determinada função, a partir da aplicação de uma das fórmulas básicas depois de ser feita uma mudança de variável (“inverso” da regra da cadeia para derivação)
       • uma função u = g(x) conveniente, de modo que a integral resultante seja mais simples de ser calculada.
   • Por partes
     • é baseada na regra do produto da derivada:
       • Usamos integração por partes quando a integral é o produto de duas funções
         • Exemplo
           • x⋅lnx
           • x⋅e^x
   • Integração por substituição trigonométrica
     • a substituição trigonométrica é empregada em integrais que contêm expressões da forma √a2 + x2, √a^2 - x^2, √x^2 - a^2 no integrando
       • várias integrais que contêm raízes quadradas em integrais que podemos calcular diretamente
   • Funções racionais por frações parciais
     • é possível expressar uma integral de uma função racional como uma soma de frações mais simples de serem integradas
       • Se p(x) é um polinômio com coeficientes reais, então pode ser expresso como um produto de fatores lineares e/ou quadráticos, todos com coeficientes reais.

3. INTEGRAIS

   • Improprias
     • são aquelas com limites de integração infinitos, enquanto que assíntotas verticais são denominadas de descontinuidades infinitas.
       • dizemos que quando os limites existem, a integral imprópria é convergente e que o limite é o próprio valor da integral, por outro lado, quando esses limites não existem,
   • Trigonometricas
     • é possível utilizar identidades trigonométricas para a solução de problemas que envolvam a integração de potências de seno e cosseno, integração de produtos de seno e cosseno, integrais de funções envolvendo seno e cosseno de arcos diferentes, integração de potências de tangente e de secante e integração de produtos de tangente e de secante.
     • Fórmulas de redução ou recorrência
       • o método da integração por partes pode ser utilizado para obtermos fórmulas de redução ou recorrência
   • Definidas por substituição
     • dois métodos para calcular uma integral definida por substituição.
       • encontrar por substituição a integral indefinida correspondente e usar uma das primitivas para calcular a integral definida usando o Teorema Fundamental do Cálculo.
       • substituição para integrais definidas: Se g’ for uma função contínua em [a,b] e f for uma função contínua na imagem de u = g(x),
         • A regra da substituição para integrais definidas pode ser utilizada para simplificar o cálculo de integrais de funções simétricas.
   • Funções simetricas
     • A regra da substituição para integrais definidas pode ser utilizada para simplificar o cálculo de integrais de funções simétricas.

4. PRIMITIVAS

   • Seja f uma função definida em um intervalo I. Uma função F é dita primitiva (ou antiderivada) de f em I se F’(x) = f(x) para todo x∈I.
     • as primitivas de uma função f(x) sempre estão definidas em algum intervalo
       • Nos casos em que não explicitarmos o intervalo e nos referirmos a duas primitivas da mesma função f, então ficará subentendido que essas funções são primitivas de f no mesmo intervalo I.

5. O TEOREMA FUNDAMENTAL DO CÁLCULO

   • estabelece uma relação entre o cálculo diferencial e o cálculo integral.
     • Foi Isaac Barrow, quem descobriu que o problema da tangente (derivada) e o problema da área (integral) estão relacionados, tal que a derivação e a integração são processos inversos.
     • Quando relacionamos ambos os processos (derivação e integração), podemos calcular integrais a partir da primitiva da função integranda, ao invés da determinação dos limites das somas de Riemann
   • De acordo com o Teorema Fundamental do Cálculo, F(x) é uma função derivável em todos os pontos x∈[a,b], cuja derivada é f em si
     • se f é contínua em [a,b] e se F é qualquer primitiva de f em [a,b],

6. SISTEMAS DE COORDENADAS ESPECIAIS

   • representa um ponto P no plano por um par ordenado de números
     • coordenadas polares
     • Coordenadas cilíndricas
     • coordenadas esféricas