Ohne Titel

Seite 1

Deve-se construir uma caixa de base retangular, com uma folha de cartolina de 40 cm de largura e 52 cm de comprimento, retirando-se um quadrado da cada canto da cartolina e dobrando-se perpendicularmente os lados resultantes. Determine o tamanho do lado do quadrado que permite construir uma caixa de volume máximo. A solução do problema é resolvida da seguinte forma: Dobrando-se a cartolina ao longo das linhas tracejadas de uma caixa, a base da mesma obtida terá dimensões 52 – 2x e 40 – 2x. A quantidade a ser maximizada é o volume V como função de x. V= Comprimento x altura x largura. V(x) = x(40-2x) (52-2x) = 4x³ -184x² +2080x. Para achar os números críticos da função, diferenciamos a função V. V´(x) = 12x² -368x +2080. Fazendo V´(x) = 0 obtemos as raízes aproximadamente 23,19 e 7,47, que são os números críticos. Fazemos a segunda derivada, V´´(x) = 24x -368. Para o número crítico 23,19 teremos V´´(x)= 24.(23,19) -368 = 188,56 >0 , então esse ponto é o valor de mínimo local da função. Para o número 7,47 teremos V´´(x) = 24.(7,47) -368 = -188,72 <0, então esse é o valor máximo local. Assim, temos que devem ser dobrados 7,47 cm de cada lado para obtermos a capacidade máxima. Consequentemente deve-se cortar um quadrado de 7,47 cm de lado, de cada canto da folha de cartolina, para maximizar o volume da caixa.