Matrizes - Trabalho complementar M2 JPA

Matrizes

• Colégio Bahiense (M2 JPA)
• grupo: Beatriz Reis Monteiro (M21)
• Giovanna Saber (M21)
• Giulia Virgilio (M21)
• Isabela Lourenço (M21)

Definição de Matrizes- Parte 1

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• Matrizes são tabelas que possuem M linhas e N colunas.
• Quando falamos sobre a quantidade dessas linhas e colunas, usamos MxN ( m= número de linhas da matriz// n= número de colunas da matriz).
• Podemos representar as matrizes com colchetes ou parênteses. Quem tá dentro da matriz nós chamamos de elementos da matriz.
• Há uma representação : AiJ, onde o "i" vai ser o número da linha onde aquele elemento está e o "j" vai mostrar o número de colunas onde ele se localiza.
• Bildunterschrift: Representação genérica

Definição de Matrizes- Parte 2

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• Bildunterschrift: Representação genérica
• Então na imagem ao lado, o primeiro elemento é o a1,1 pois ele se encontra na 1°a linha e na 1°a coluna. Então o último elemento da matriz toda é o am,1 pois ele se encontra na linha número M ( que é a última linha) e na coluna 1, e o am,n pois ele está na linha M e na coluna N

Tipos de Matrizes especiais

• Introdução
• Os tipos de matrizes são as diversas formas de representação de seus elementos.
• São eles:
• Matriz linha
• Matriz coluna
• Matriz nula
• Matriz quadrada
• Matriz transposta
• Matriz oposta
• Matriz antissimétrica
• Matriz identidade
• Matriz diagonal
• Matriz simétrica

Tipos de matrizes especiais- Parte 1

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• 1- Matriz linha: Formada por uma única linha
• 2- Matriz coluna: Formada por uma única coluna
• 3- Matriz nula: Formada por elementos iguais a zero
• Bildunterschrift: Exemplos

Tipos de matrizes especiais- Parte 2

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• 4- Matriz quadrada: Formada por numero de linhas e colunas iguais
• Obs.:
• Diagonal principal-os elementos da diagonal principal têm i = j
• Diagonal secundária-formada por i + j = n + 1
• Bildunterschrift: Exemplos

Tipos de matrizes especiais- Parte 3

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• Bildunterschrift: Exemplos
• 5- Matriz transposta: Indicada pela letra "t", é a troca ordenada das linhas pelas colunas, ou vice-versa.
• 6- Matriz oposta: Indicada pelo sinal de negativo, é a troca do sinal, para o sinal oposto de cada elemento.

Tipos de matrizes especiais- Parte 4

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• Bildunterschrift: Exemplos
• 7- Matriz antissimétrica: Indicada pelo"t" e pelo sinal negativo
• 8- Matriz identidade: Formada por elementos da diagonal principal iguais a 1 e os elementos restantes iguais a 0

Tipos de matrizes especiais- Parte 5

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• Bildunterschrift: Exemplos
• 9- Matriz diagonal: Formada por elementos da diagonal principal diferentes de 0, e o restante dos elementos sendo nulos.
• 10- Matriz simétrica: Matriz idêntica a sua matriz transposta.

Igualdade de matrizes

• As matrizes são iguais quando:
• elas são do mesmo tipo, ou seja, quando elas possuem o mesmo número de linhas e colunas
• seus elementos correspondentes devem ser iguais
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Operações com matrizes- Parte 1

• Adição de matrizes
• É a soma de duas matrizes do mesmo tipo, A e B, em que cada elemento é a soma dos correspondentes em A e em B, OU seja, vamos somar, por exemplo, o elemento da linha 1 coluna 1 da matriz A com o elemento da linha 1 coluna 1 da matriz B
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Operações com matrizes- Parte 2

• Subtração de matrizes
• É a diferença entre duas matrizes do mesmo tipo, A e B, nessa ordem, é a soma de A com o oposto de B.
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Operações com matrizes- Parte 3

• Multiplicação de um numero real por matriz
• Exemplo explicativo: Uma matriz qualquer "B" de ordem mxn e um número real qualquer "k".
• Ao multiplicar o número real "k" pela matriz "B" vamos encontrar como produto outra matriz "k.B" de ordem mxn e seus elementos é o produto de k por cada elemento de B.
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Operações com matrizes- Parte 4

• Multiplicação entre matrizes
• Para a multiplicação de matrizes é necessário uma regra: o número de colunas da primeira deve ser igual ao número de colunas da segunda. Como cada matriz é um conjunto de elementos ou entradas organizadas em linhas e colunas, a multiplicação de duas ou mais matrizes é feita com os elementos que integram as linhas da primeira e entradas das colunas da segunda.Essas colunas são colocadas de cima para baixo, e as linhas da esquerda para a direita. Elas podem aparecer no conjunto principal, no qual os elementos de i (linhas) são iguais aos de j (colunas), ou secundário – soma de i com j.
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Operações de matrizes- Parte 4.1

• Na multiplicação de matrizes, além da igualdade no número de linhas de uma e colunas da outra, a matriz resultante deve apresentar a mesma quantidade de linhas da primeira matriz que participa da operação e de colunas da segunda, isto é:
• A m x n . Bn x p= Cm x p
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Propriedades da multiplicação de matrizes

• • Associativa: A . (B . C) = (A . B) . C
• • Distributiva à esquerda: A . (B + C) = A . B + A . C
• • Distributiva à direita: (A + B) . C = A . C + B . C
• • Identidade: A . I = I . A = A
• • Comutativa com escalar: (a . A) . B = A . (a . B) = a . (A . B)
• • Transposta do produto: (A . B)t = Bt . At

Potência de uma matriz quadrada

• A matriz deve ser quadrada. Essa restrição é uma consequência da definição do produto de matrizes: o produto de An × p por Bm × r exige que p seja igual a m, isto é, o número de colunas de A deve ser igual ao número de linhas de B.
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Matriz inversa

• Matriz Inversa só é definida para matrizes quadradas. Uma matriz A, é inversível, se e somente se, existir uma matriz, que representamos na forma Anxn, que seja da mesma ordem, tal que o produto A.A(elevado a -1) = I ou A(elevado a -1).A = I.
• " l" é a matriz identidade da mesma ordem da matriz A.
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