Notizen
ondas longitudinales y ondas transversales.
Inhalt der Notizen (17)
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Ondas Sinusoidales o Armónicas:
Cresta de la Onda:
punto en el cual el desplazamiento
del elemento de medio es máximo
respecto de su posición normal
Longitud de Onda ( λ ):
distancia entre dos crestas adyacentes o
dos puntos idénticos adyacentes
Amplitud ( ym ):
corresponde al desplazamiento
máximo de un elemento de medio
respecto de su posición normal
Frecuencia ( f ):
número de crestas por unidad
de tiempo
Período ( T ):
tiempo que transcurre mientras dos
crestas adyacentes o dos puntos
idénticos adyacentes pasan por un punto
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Velocidad de las ondas en
cuerdas:
La velocidad de fase de la onda depende de las propiedades
del medio en el cual se propaga la onda
Una onda que se propaga en una cuerda tensa tiene dos
propiedades de las cuales puede depender la velocidad: su
densidad lineal de masa y la tensión en la cuerda:
Consideremos la segunda ley de Newton para un pequeño “elemento de medio” en un
marco de referencia que se mueve a velocidad constante con el pulso.
Al sumar vectorialmente las fuerzas notamos que la resultante “apunta al centro”.
Asociamos una aceleración centrípeta. Validez: amplitud de la onda pequeña comparada
con el largo de la cuerda
sin(0.1[rad]) ≈ 0.1
Fc
Ejemplo
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Una cuerda uniforme tiene una masa de 0.3 [kg] y una longitud de 6 [m],
la cuerda pasa por una polea y soporta un objeto de 2 [kg]. Encuentre la
velocidad de un pulso que viaja en la cuerda
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TRANSMISION DE ONDAS EN CUERDAS:
¿Qué ocurre si el medio no es uniforme?
Pulso
incidente
Pulso
reflejado
Pulso
transmitido
Cuando una onda viaja desde un medio
A a un medio B y (el medio B es
más denso que A), la onda se invierte
bajo reflexión.
Cuando una onda o un pulso viaja desde
un medio A a un medio B y (el
medio A es más denso que B), la onda
no se invierte bajo reflexión.
Cuando una onda cambia de medio debe
mantener su frecuencia, luego:
Pulso
incidente
Pulso
transmitido
Pulso
reflejado
Energía en una onda
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Potencia en una onda
Como la onda se mueve por la cuerda, esta energía pasa por
un punto dado de la cuerda en un intervalo de tiempo de un
período de oscilación.
La potencia promedio, o tasa de transferencia de energía
asociada a la onda es dada por:
La tasa de transferencia de energía en cualquier onda
sinusoidal es proporcional al cuadrado de la frecuencia y al
cuadrado de la amplitud de la onda
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Velocidad de grupo y
dispersión:
La onda mantendrá su forma únicamente al viajar por un medio no dispersivo
En un medio dispersivo, las formas de onda de las ondas sinusoidales componentes
no cambian, pero cada una de ellas puede viajar con una velocidad de fase
diferente. En este caso, la forma de la onda combinada cambia al alterarse la
relación de fase entre las componentes
La dispersión ocurre porque las ondas componentes viajan a velocidades de fase
diferentes
La velocidad de grupo es la velocidad a la cual viaja la información o la energía en
una onda real. No existe una relación sencilla entre la velocidad de fase de las
componentes y la velocidad de grupo de la onda, depende de la dispersión del
medio
La onda puede cambiar también de forma si cede energía mecánica al medio cuando
se presentan fuerzas disipativas (que dependen en general de la velocidad)
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Dispersión de la luz:
En un medio no dispersivo todas las ondas componentes viajan con la misma
velocidad de fase. El aire es un ejemplo de un medio aproximadamente
no dispersivo. El vacío es un medio no dispersivo.
En un medio no dispersivo, todas las ondas componentes viajan a la misma
velocidad de fase y la velocidad de grupo de la onda resultante será igual al
valor común de la velocidad de fase
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Interferencia de Ondas:
Cuando dos o más ondas se combinan en un punto determinado, se
dice que ellas interfieren y el fenómeno se conoce como
interferencia
Consideremos dos ondas de igual amplitud, frecuencia y longitud
de onda pero diferente fase:
#
Interferencia de Ondas
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: diferencia de
fase
La onda resultante tiene una amplitud diferente, pero la misma frecuencia y
longitud de onda que las componentes.
Si la diferencia de fase es cero, se dice que las ondas están en fase y la amplitud
de la resultante es el doble de la amplitud original.
Si la diferencia de fase es cercana a 180°, la amplitud resultante es casi cero.
Interferencia constructiva
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Diferentes constantes de fase para la onda:
La onda resultante al sumar 2 ondas de distinta
fase es representada por la curva negra. La nueva
onda tiene la misma longitud y frecuencia pero
distinta amplitud, en este caso mayor que las
componentes
Interferencia destructiva
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Diferentes constantes de fase para la onda:
La onda resultante al sumar 2 ondas con diferencia
de fase 180° es representada por la curva negra.
La nueva onda tiene amplitud cero en este caso
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Ondas estacionarias:
Una onda estacionaria consiste de dos ondas de la misma amplitud,
frecuencia y longitud de onda que viajan en el mismo medio en
direcciones opuestas e interfieren
Esta onda estacionaria presenta un patrón de nodos y antinodos.
Los nodos son puntos fijos donde la amplitud del movimiento de
un elemento de medio en ese lugar es cero.
Los antinodos son puntos fijos donde la amplitud del movimiento
de un elemento de medio en ese lugar tiene amplitud máxima
Consideremos 2 ondas viajeras con la misma amplitud, longitud de onda y
frecuencia
que viajan en sentidos opuestos:
Al superponer ambas ondas, el patrón de onda resultante no corresponde a una onda viajera
y la amplitud de vibración de la onda resultante es diferente para cada elemento de medio
amplitud de la
onda
Cada partícula experimenta un M.A.S. con frecuencia ω pero la amplitud depende de la posición del elemento de medio
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Nodos y Antinodos:
Se presenta un nodo cuando:
Se presenta un antinodo cuando:
n=0,1,2,
…
n=0,1,2,
…
Dos nodos o dos antinodos consecutivos están separados una distancia λ/2
La separación entre un nodo y un antinodo consecutivo es λ/4
Nodos y Antinodos
Podemos construir ondas estacionarias en una cuerda superponiendo la onda
incidente y la onda reflejada
En una cuerda pueden presentarse varias ondas estacionarias diferentes, las
cuales se denominan armónicos
Diferente número de nodos » diferente longitud de onda
Dado que la velocidad de fase es constante en el medio, diferente longitud de
onda » diferente frecuencia
La condición para que se presente una onda estacionaria en una cuerda es que
encontremos 2 nodos en los extremos de la cuerda (de longitud L)
Entonces la longitud de la cuerda debe ser igual a un número entero de λ/2 (la
separación entre 2 nodos consecutivos)
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Armónicos:
Sólo para determinadas frecuencias se presentan ondas estacionarias
Las frecuencias fn se denominan frecuencias naturales
del sistema oscilatorio (la cuerda). Cuando la frecuencia
de la fuerza impulsora coincide con una frecuencia
natural
permitida se produce una onda estacionaria y el sistema
comienza a oscilar con gran amplitud. Esto se denomina
condición de resonancia
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Ondas de Sonido:
La onda mecánica longitudinal más conocida es la
onda de sonido. Los elementos de medio vibran
(respecto de su posición de equilibrio) en la misma
dirección en la cual se propaga la onda
Las ondas sonoras se clasifican como:
Ondas audibles: 20 [Hz] < f < 20000 [Hz]
Ondas ultrasónicas o supersónicas: f > 20000 [Hz]
Ondas infrasónicas: f < 20 [Hz]
Las ondas sonoras viajan en 3 dimensiones aunque
podemos simplificar la situación haciendo que éstas
viajen en un tubo.
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Ondas de Sonido en un Tubo
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Consideremos un tubo largo (para poder ignorar la posible
reflexión de ondas) lleno de un medio compresible.
En uno de los extremos del tubo hay un émbolo (o pistón)
que se mueve alternadamente.
Cuando el émbolo se mueve hacia la derecha e izquierda
comprime y enrarece el medio respectivamente.
Compresiones y enrarecimientos pueden considerarse
como aumentos y disminuciones de la densidad local en
relación a su valor promedio, respectivamente.
Equivalentemente, compresiones y enrarecimientos
pueden verse como aumentos y disminuciones de la
presión local.
compresiones
enrarecimientos
Velocidad del Sonido
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En ondas longitudinales en fluidos la propiedad elástica que describe cómo responde el
medio a cambios de presión con un cambio de volumen se denomina módulo volumétrico
de elasticidad
El signo menos mantiene B positivo dado que el volumen disminuye con un aumento de presión.
La velocidad del sonido es dada en términos del módulo volumétrico y la densidad de volumen como:
En sólidos el módulo volumétrico
es reemplazado por el módulo de
Young
La velocidad del sonido también varía con la temperatura de acuerdo a la relación:
Velocidad del Sonido
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A
v
Consideremos una perturbación que se propaga en un tubo donde se encuentra un
fluido de presión y densidad uniformes. En un sistema de referencia donde la
perturbación
permanece estacionaria, el fluido se mueve a la izquierda con rapidez v.
El borde izquierdo de un elemento de fluido entra a la zona de compresión en el tiempo t,
mientras que el borde derecho lo hace en un tiempo t + Δt, donde Δt= Δx/v.
El borde izquierdo del elemento de fluido siente una presión p+ Δp mientras que el borde
derecho siente una presión p. Debido a esta diferencia de presión, el elemento de fluido se
comprime y su velocidad disminuye mientras atraviesa la zona de compresión.
En el borde izquierdo del elemento de fluido la rapidez es v+ Δv con Δv negativo. Luego
de
salir de la zona de compresión el elemento se expande y aumenta su rapidez
zona de compresión
elemento de fluido
Velocidad del Sonido
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A
v
Aplicamos la II ley de Newton en el tiempo Δt al elemento de fluido:
F = pA - (p+ Δp)A = - ΔpA donde la dirección positiva es a la izquierda
Considerando que esta es la única fuerza que actúa sobre un elemento de fluido de
volumen
ΔV = A Δx obtenemos:
F = - ΔpA = m a = ρ A Δx Δv / Δt = ρ A v Δt Δv / Δt luego ρ v² = - (Δp / Δv)v
Durante el intervalo de tiempo Δt el volumen del elemento de fluido cambia debido a un
cambio en el ancho de este elemento, tenemos:
ΔV / V = A Δv t / (A v Δt ) = Δv / v dado que B = - (Δp / ΔV)V
Finalmente obtenemos: v² = B / ρ
zona de compresión
elemento de fluido
Descripción de una onda de
sonido
Consideremos un tren continuo de compresiones y
enrarecimientos que viajan a lo largo de un tubo lleno de fluido.
Podemos enfocar nuestra atención en el desplazamiento de un
elemento de medio s(t,x) o en las variaciones periódicas de la
presión en nuestra ubicación Δp(t,x):
Ambas descripciones están desfasadas 90° o π/2 rad.
La variación de presión es máxima cuando el desplazamiento
desde el equilibrio es cero y viceversa
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Descripción de una onda de
sonido
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Un elemento de medio experimentará cambios en la posición,
y presión a medida que la onda de sonido se propaga en el fluido
Fluido sin perturbar
Fluido perturbado
Un cambio de volumen ΔV del elemento de medio
se traduce en un cambio de presión Δp en esa zona:
Tomando el limite para Δx pequeño
obtenemos:
Usando la función s(t,x) descrita en la transparencia
anterior,
la relación entre B y la rapidez de propagación en el medio
y
v = ω / k obtenemos:
Comparando con la expresión para Δp(t,x) en
la
transparencia anterior encontramos la relación:
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Potencia suministrada:
Al viajar una onda sonora (o una onda de presión), cada elemento de fluido ejerce una
fuerza sobre el elemento que está delante de él, la magnitud de esta fuerza es dada por:
Por otra parte, el movimiento que experimenta un elemento de medio es dado por la
función
s(t,x), luego la velocidad con la cual se mueve un elemento de medio estará dada por:
La potencia suministrada por un elemento de medio es dada en términos del trabajo
mecánico W como:
luego dada la relación entre sm y Δpm
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Potencia e Intensidad:
Promediando la potencia para un ciclo de oscilación
obtenemos:
Al igual que en el caso de una onda en una cuerda (onda transversal), la potencia promedio
depende del cuadrado de la amplitud al cuadrado, ya sea de la presión o del desplazamiento.
La intensidad de una onda o la potencia por unidad de área corresponde a la tasa a la cual
la energía transportada por la onda pasa a través de un área A perpendicular a la dirección
de propagación de la onda.
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Interferencia de ondas de sonido
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emisor
receptor
Las ondas de sonido emitidas en E
siguen dos caminos diferentes. La
mitad de la energía del sonido toma
el camino de arriba y la otra
mitad el camino de abajo
Las ondas de sonido que llegan a R
pueden venir de cualquiera de estos
dos caminos
E
R
Debido a la superposición de las ondas de sonido en R, las cuales siguen diferentes
caminos, se presenta interferencia entre estas ondas de sonido.
Si la diferencia de camino es un múltiplo entero de λ (longitud de onda) se presenta
interferencia constructiva. Si la diferencia de camino es un múltiplo semi-entero de λ,
se presenta interferencia destructiva.
Puede aparecer una diferencia de fase cuando dos ondas generadas por la misma
fuente viajan por caminos diferentes de distinta longitud.
Interferencia de ondas de sonido
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Interferencia Constructiva:
Interferencia Destructiva:
Las ondas estarán en fase en el receptor. Se detecta un máximo en la intensidad de sonido
Las ondas estarán completamente fuera de fase en el receptor (180°). Se detecta un mínimo
en la intensidad de sonido.
En términos de la constante de fase, se presenta interferencia constructiva cuando:
En términos de la constante de fase, se presenta interferencia destructiva cuando:
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Ondas de sonido estacionarias
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Es posible encontrar ondas de sonido estacionarias para determinadas frecuencias de
vibración. La frecuencia de vibración depende de si tratamos con un tubo abierto o
cerrado. Las ondas estacionarias se generan con una onda de sonido viajera incidente y
la onda reflejada en el extremo del tubo en el cual se propaga la onda
En un tubo cerrado el extremo cerrado corresponde a un nodo de desplazamiento debido
a que en el extremo cerrado la pared no permite el movimiento longitudinal de las
moléculas de aire. La onda reflejada esta 180° fuera de fase con la onda incidente. Este
punto corresponde a un antinodo de presión (puesto que la presión y el desplazamiento
están 90° fuera de fase)
En un tubo abierto el extremo corresponde aproximadamente a un antinodo de
desplazamiento y un nodo de presión, la presión en el extremo abierto corresponde a la
presión atmosférica (cuando el tubo está en contacto con el aire)..
En el extremo de un tubo abierto hay un cambio en la forma del medio, allí el medio es
libre de moverse en una región más grande.
Tubo abierto
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Tubo abierto en ambos extremos
primer armónico
segundo armónico
tercer armónico
En este caso la condición es que se presenten antinodos de desplazamiento en los extremos
Tubo cerrado
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Tubo cerrado en un extremo
primer armónico
tercer armónico
quinto armónico
En este caso la condición es que se presente 1 nodo de desplazamiento en el extremo
cerrado y un antinodo de desplazamiento en el extremo abierto
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Intensidad de Sonido en decibeles
Los sonidos más débiles que el oído humano puede detectar a una frecuencia de
1000 [Hz] corresponden a una intensidad de denominado umbral
de audición. Los sonidos más fuertes que el oído puede tolerar a esta frecuencia
corresponden a una intensidad de conocido como el umbral del dolor
Como el oído humano puede detectar un amplio rango de intensidades, se escoge
una escala logarítmica para indicar la intensidad de sonido
El umbral del dolor corresponde a…
El umbral de audición corresponde
a…
Ejemplo
Dos máquinas idénticas están ubicadas a la misma
distancia de un trabajador. La intensidad del sonido
entregado por cada máquina en la ubicación del
trabajador es de . Encuentre la
intensidad del sonido en dB en la ubicación del
trabajador cuando opera una máquina y cuando operan
las dos.
Como regla, duplicar el volumen (que depende en
general de la intensidad y la frecuencia) corresponde a
un incremento de 10 dB de intensidad. Si en el
ejemplo, el volumen se duplica, ¿cuántas máquinas
estarían operando?
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Efecto Doppler (1842)
Todos hemos notado que el sonido de un
tren cambia cuando éste se mueve
pasando por nuestra posición.
La frecuencia del sonido es más alta
cuando el tren se aproxima que cuando se
aleja
Este fenómeno se conoce como Efecto
Doppler.
Este principio se utiliza para determinar la
rapidez de un automóvil en una carretera
y también para determinar las velocidades
de las estrellas.
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Efecto Doppler
Si una fuente puntual emite ondas de sonido y el medio de propagación es uniforme, las
ondas se mueven con la misma rapidez en todas direcciones: radialmente alejándose de
la fuente, este patrón corresponde a un frente de ondas esférico
El efecto Doppler ocurre porque la rapidez relativa entre el observador y el emisor
depende de la dirección de viaje y de la rapidez del observador
Cuando el observador se mueve hacia la fuente, la rapidez relativa es mayor que la
rapidez de propagación, lo que conduce a un incremento de la frecuencia
Cuando el observador se aleja de la fuente, la rapidez relativa es más baja, al igual que la
frecuencia
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Efecto Doppler
Un frente de ondas esférico se representa en el
cuaderno como círculos concéntricos con la
fuente. Cada arco representa una superficie en
la cual la fase de la onda es constante. La
distancia entre frentes de onda adyacentes
corresponde a la longitud de onda
Consideremos una fuente estacionaria que
emite ondas de sonido (fuente en reposo
respecto al medio de propagación) y un
observador en movimiento
Consideremos una fuente en movimiento y un
observador estacionario
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Observador A
Observador B
Observador móvil, fuente en reposo
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Dado que la fuente está estática, la longitud de onda es constante
Si el observador se mueve hacia la fuente, la rapidez
de las ondas relativa al observador es mayor:
rapidez de
propagación
que mide el
observador
en movimiento
rapidez de
propagación
que mide un
observador
en reposo
rapidez con
la cual se
mueve el
observador
El observador mide un frecuencia
mayor si se acerca a la fuente
Si el observador se aleja de la fuente, la frecuencia medida por el observador sería menor y
Observador en reposo, fuente móvil
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Si la fuente se mueve hacia el observador, la longitud de onda medida
por el observador es más corta que la longitud de onda emitida por la
fuente
Durante cada vibración la fuente se mueve una distancia
donde T es el período de la vibración
Observador A
Observador B
La longitud de onda medida por el observador es:
El observador mide un frecuencia
mayor si la fuente se acerca
Si la fuente se aleja del observador, la frecuencia medida por el observador decrece y
rapidez de la fuente
Caso general
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el observador se acerca a la fuente
el observador se aleja de la fuente
la fuente se acerca al observador
la fuente se aleja del observador
Ejemplo
Un reloj despertador suena con una frecuencia de 600 [Hz].
Una mañana el reloj despertador se descompone y no es
posible apagarlo, el dueño de mal humor lo deja caer desde
su la ventana en un cuarto piso a 15 [m] de altura. ¿Cuál será
la frecuencia que oirá la persona justo antes de que el reloj
impacte el piso?
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Ondas de Choque
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La fuente se mueve desde S0 a Sn en un tiempo t
En este caso se tiene la particularidad de que la
rapidez de la fuente es mayor que la rapidez de
propagación de las ondas en el medio
Todos los frentes de onda quedan “envueltos”
por un cono, el cual es tangente a los frentes de
onda emitidos entre 0 y t. Se tiene la relación:
El número de Mach se define como:
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Ondas
Ondas mecánicas (medio)
Ondas en una cuerda (transversales)
Ondas de sonido en un tubo (longitudinales)
Descripción de ondas viajeras
Velocidad de fase de una onda
Interferencia
Ondas estacionarias: armónicos
Energía: potencia media e intensidad
Ondas electromagnéticas (vacío)
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Ondas electromagnéticas
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longitud de onda en [cm]
Ecuaciones de Maxwell
Todos los fenómenos eléctricos y magnéticos pueden ser compilados en cuatro
ecuaciones fundamentales, las ecuaciones de J.C. Maxwell (1831-1879)
Estas ecuaciones predicen la existencia de ondas electromagnéticas que viajan a la
velocidad de la luz (encontradas por Heinrich Hertz en 1887)
La teoría muestra que estas ondas son radiadas por cargas acelerando
Maxwell unificó el estudio de la luz y el electromagnetismo: la luz es una onda
electromagnética
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Ecuaciones de Maxwell (vacío)
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Ley de Gauss: el flujo eléctrico total a través de
cualquier superficie cerrada es proporcional a la
carga neta al interior de la superficie.
Ley de Gauss: el flujo magnético total a través de
cualquier superficie cerrada es cero. No existen
monopolos magnéticos.
Ley de Inducción de Faraday: la variación de un
flujo magnético en el tiempo genera un campo
eléctrico.
Ley de Ampere-Maxwell: la variación de un flujo
eléctrico en el tiempo y una corriente eléctrica
generan un campo magnético.
Una partícula cargada en presencia de un campo
electromagnético sentirá la Fuerza de Lorentz:
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Vector de Poynting y densidad de energía
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El vector de Poynting sirve para determinar el contenido de energía de una
OEM
La densidad de energía promedio de una
OEM se relaciona con la intensidad:
Ejercicios
La estrella Polaris está a una distancia de
si Polaris se quemara completamente hoy ¿en qué año
usted la vería desaparecer?
¿Cuánto tiempo tarda la luz de un rayo en llegar a
nosotros si éste es producido a 10 [km] de distancia?
¿Cuánto tiempo tarda el sonido de este rayo en
alcanzarnos?
Un pulso de radar retorna al emisor después de un
tiempo de viaje total de . ¿Qué tan lejos
está el objeto que refleja la onda?
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Ejercicios
Una fuente de luz monocromática con una potencia de
salida de 60 [W] irradia luz uniformemente en todas
direcciones con una longitud de onda de 700 [nm].
Calcule Em y Bm de esta luz a 5 [m] de la fuente
Una onda electromagnética sinusoidal emitida por un
teléfono celular tiene una longitud de onda de 35.4
[cm] y una amplitud de campo eléctrico de
a una distancia de 250 [m] de la fuente. Calcule la
frecuencia de la onda, la amplitud del campo
magnético y la intensidad de la onda
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Ejercicios
En una región del espacio libre el campo eléctrico y el campo
magnético en un instante determinado de tiempo son:
Demuestre que estos campos son perpendiculares y calcule el vector
de Poynting
Un láser de He-Ne emite luz roja visible con una potencia de 3.6 [mW]
en un haz que posee un diámetro de 4.0 [mm] ¿cuál es la amplitud del
campo eléctrico? ¿cuál es la densidad media de energía asociada al
campo magnético? ¿cuál es la energía total contenida en una longitud
de 0.5 [m] de este haz?
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Ejercicios
Un tren se mueve paralelo a una carretera con una rapidez constante de 20 [m/s].
Un auto viaja en la misma dirección que el tren con una rapidez de 40 [m/s]. La
bocina del auto suena a una frecuencia de 510 [Hz] y el silbato del tren a una
frecuencia de 320 [Hz].
Cuando el auto esta detrás del tren, ¿qué frecuencia escucha el ocupante del auto para
el silbato del tren?
Después que el auto pasa y esta delante del tren, ¿qué frecuencia escucha un pasajero
del tren para la bocina del auto?
Estando de pie en un cruce peatonal, una persona escucha un sonido de 560 Hz
de frecuencia proveniente de la sirena de una ambulancia que se aproxima.
Después que pasa la ambulancia, la frecuencia escuchada de la sirena es de 480
Hz. Determine la rapidez de la ambulancia a partir de estas observaciones.
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Ejercicios
Una cuerda de guitarra de 60,0 cm de longitud y 6,00 g de
masa esta sometida a una tensión de 50 [N]. ¿Cuál es la
frecuencia armónica más alta que puede escuchar una
persona con un límite superior de audición de 20 [kHz]?
Si se determina que dos frecuencias naturales adyacentes de
un tubo de órgano (abierto) son 550 [Hz] y 650 [Hz], calcule
la frecuencia fundamental y la longitud de este tubo (v = 340
[m/s]).
Informationen
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- juan esteban umaña · Sep 2020
- Aktualisiert
- 23 Sep 2020
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