Elementos de la elipse

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La ecuación canónica de la elipse con eje mayor sobre el eje x y centro (0,0) es \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 La ecuación canónica de la elipse con eje mayor sobre el eje y y centro (0,0) es \frac{x^2}{b^2}+\frac{y^2}{a^2}=1 Para obtener la expresión analítica de una elipse, la ubicamos sobre los ejes coordenados. El eje mayor lo haremos coincidir con el eje x y el eje menor coincidir con el eje y. Por la definición de elipse sabemos que para cualquier punto P de la elipse se cumple \overline{PF_1}+ \overline{PF_2} es siempre constante. En particular para el vértice V_3, por semejanza de triángulos tenemos que \overline{V_3 F_1} = \overline{V_3 F_2} = a (a es la distancia del vértice menor al foco). Por tanto \overline{V_3 F_1} + \overline{V_3 F_2} =2a y en general: \overline{PF_1} + \overline{PF_2} = 2a para cualquier punto P de la elipse. De este modo: \sqrt{(x-c)^2+y^2} + \sqrt{(x+c)^2+y^2} =2a. La expresamos de la forma: \sqrt{(x-c)^2+y^2} =2a - \sqrt{(x+c)^2+y^2}. Elevamos al cuadrado y se obtiene: x^2+2cx+c^2+y^2=4a^2 +x^2 -2cx+c^2+y^2- 4 a \sqrt{(x-c)^2 + y^2} Esto es a^2 -cx = a \sqrt{(x-c)^2 + y^2} a^4 - 2acx +c^2x^2= a^2x^2 - 2a^2cx+ a^2c^2+a^2y^2 Es decir a^2(a^2-c^2)= (a^2 -c^2) x^2 + a^2y^2 Teniendo en cuenta que a^2-c^2=b^2, dividimos por a^2b^2 y resulta 1= \frac{x^2}{a^2}+ \frac{y^2}{b^2} De la ecuación canónica se puede concluir: a es la longitud del semieje mayor que coincide con la longitud del segmento que une al foco con un vértice menor. b es la longitud del semieje menor. c es la distancia del foco al centro y se puede obtener por el teorema de Pitágoras c= \sqrt{a^2 - b^2} Ejemplo: Hallar los focos y la ecuación canónica de una elipse con vértices V_1: (3,0), V_2: (-3,0), V_3: (0,7), V_4: (0,-7) Solución: Vemos que el semieje menor está situado sobre el eje x y en consecuencia la ecuación será de la forma \frac{x^2}{b^2}+\frac{y^2}{a^2}=1 Además, los focos están sobre el eje y y están dados por a^2-c^2=b^2\Leftrightarrow 49-c^2=9 c=\pm\sqrt{40}=\pm 2\sqrt{10} Luego: la ecuación pedida es \frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{49}=1 y los focos son (0,\pm 2\sqrt{10}) Ejemplo 2: Encontrar la ecuación canónica de una elipse con focos F_1: ( 4,0),\, F_2: ( -4,0) si los vértices determinados por el eje menor son V_1: ( 0,\sqrt{7})\, y\, V_2: ( 0,-\sqrt{7}) Solución: Sabemos que si los focos están sirtuados sobre el eje x, la ecuación canónica es de la forma \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1. tenemos que ubicar a para completar la ecuación: a^2-c^2=b^2 a^2=7+16=23 por tanto a=\pm\sqrt{23} es decir, los vértices son V_1: (\sqrt{23}, 0)\, y\, V_2: (-\sqrt{23}, 0) Luego: la ecuación canónica es \frac{x^2}{23}+\frac{y^2}{7}=1 Ejemplo 3: Determinar la ecuación canónica y los focos de una elipse con centro en (0,0), si uno de los vértices del eje mayor es V_1: ( 0,1) y un vértice sobre el eje menor es V_3: (\frac{1}{2}, 0). Solución: Como a = 1 y b=\frac{1}{2}, entonces: Determinemos los focos, hallando c: 1-\frac{1}{4}=c^2\Leftrightarrow c=\pm\frac{\sqrt{3}}{2} Luego: los focos son F_1: ( 0,\frac{\sqrt{3}}{2})\, y\, F_2: ( 0,-\frac{\sqrt{3}}{2}) Como a = 1 y b=\frac{1}{2}, entonces , a^2=1\, y\, b^2=\frac{1}{4} Luego: Le ecuación canónica es \frac{x^2}{\frac{1}{4}}+\frac{y^2}{1}=1 o lo que es lo mismo 4x^2+y^2=1