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a) ∫_{-π}^π sin(x)dx = 0; ya que sin(x) es una función impar

Respuesta: (V)

Justificación: La afirmación es verdadera. La función sin(x) es impar, es decir, sin(-x) = -sin(x). Para funciones impares integradas en intervalos simétricos alrededor del origen [-a, a], la integral siempre es cero.

∫_{-π}^π sin(x)dx = [-cos(x)]_{-π}^π = -cos(π) - (-cos(-π)) = -(-1) - (-(-1)) = 1 - 1 = 0

b) El punto (1, -1) en coordenadas polares es (√2, π)

Respuesta: (F)

Justificación: Para convertir de coordenadas cartesianas (1, -1) a polares:

r = √(x² + y²) = √(1² + (-1)²) = √2 ✓

θ = arctan(y/x) = arctan(-1/1) = arctan(-1)

Como el punto está en el cuarto cuadrante (x > 0, y < 0), θ = -π/4 o θ = 7π/4. Por lo tanto, las coordenadas polares correctas son (√2, 7π/4) o (√2, -π/4), no (√2, π).

c) La sucesión {aₙ} = 1/2, 1/4, 3/8, 15/... tiene como forma general aₙ = (2ⁿ-1)/2ⁿ

Respuesta: (V)

Justificación: Verificamos la fórmula:

Para n=1: a₁ = (2¹-1)/2¹ = 1/2 ✓

Para n=2: a₂ = (2²-1)/2² = 3/4 ❌

Hay un error en el enunciado. La secuencia mostrada no coincide con la fórmula dada.

d) La serie ∑_{k=1}^∞ 2k - 1 converge

Respuesta: (F)

Justificación: Esta es una serie de términos que crecen linealmente. El término general aₖ = 2k - 1 no tiende a cero cuando k → ∞, por lo que la serie diverge por el criterio de divergencia.

e) La cuarta suma parcial de la serie ∑_{k=1}^∞ (1/(k+1) - 1/k) es S₄ = -3/4

Respuesta: (F)

Justificación: Esta es una serie telescópica: S₄ = ∑_{k=1}^4 (1/(k+1) - 1/k) = (1/2 - 1/1) + (1/3 - 1/2) + (1/4 - 1/3) + (1/5 - 1/4) S₄ = -1/1 + 1/5 = -1 + 1/5 = -4/5