Las cónicas

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Las cónicas se denominan a todas las curvas resultantes de las diferentes intersecciones entre un cono y un plano; si dicho plano no pasa por el vértice, se obtienen las cónicas propiamente dichas. Se clasifican en cuatro tipos: elipse, parábola, hipérbola y circunferencia.

TIPOS: En función de la relación existente entre el ángulo de conicidad (a) y la inclinación del plano respecto del eje del cono (B), pueden obtenerse diferentes secciones cónicas, a saber:

B < a : Hipérbola

B = a : Parábola

B > a : Elipse

B = 90 º: Circunferencia (un caso particular de elipse)

Y β= 180 º : Triangular

Si el plano pasa por el vértice del cono, se puede comprobar que:

Cuando B > a la intersección es un único punto (el vértice).

Cuando B = a la intersección es una recta generatriz del cono (el plano será tangente al cono).

Cuando B < a la intersección vendrá dada por dos rectas que se cortan en el vértice.

Cuando B = 90 º El ángulo formado por las rectas irá aumentando a medida B disminuye,cuando el plano contenga al eje del cono (B = 0).

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En coordenadas cartesianas, las cónicas se expresan en forma algebraica mediante ecuaciones cuadráticas de dos variables (x,y) de la forma:

{\displaystyle ax^{2}+2hxy+by^{2}+2gx+2fy+c=0\,}

en la que, en función de los valores de los parámetros, se tendrá:

h² > ab: hipérbola.

h² = ab: parábola.

h² < ab: elipse.

a = b y h = 0: circunferencia.

a:C y Z:0: triangular

CARACTERÍSTICAS:

La elipse es el lugar geométrico de los puntos del plano tales que la suma de las distancias a dos puntos fijos llamados focos es constante.

Además de los focos F y F´, en una elipse se destacan los siguientes elementos:

Centro, O

Eje mayor, AA´

Eje menor, BB´

Distancia focal, OF

La elipse con centro (0, 0) tiene la siguiente expresión algebraica: x2-a2 + y2-b2=1

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La hipérbola es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya diferencia de distancias a dos puntos fijos, llamados focos, es constante y menor que la distancia entre los focos.Tiene dos asíntotas (rectas cuyas distancias a la curva tienden a cero cuando la curva se aleja hacia el infinito). Las hipérbolas cuyas asíntotas son perpendiculares se llaman hipérbolas equilateras.

Además de los focos y de las asíntotas, en la hipérbola se destacan los siguientes elementos:

Centro, O

Vértices, A y A

Distancia entre los vértices

Distancia entre los focos

La ecuación de una hipérbola horizontal con centro (0, 0), es:x2-a2 -- y2-b2 A su vez, la de una hipérbola vertical es: y2-a2 -- x2-b2

La parábola es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado foco, y de una recta llamada directriz.Además del foco, F, y de la directriz, de una parábola se destacan los siguientes elementos:

Eje, e

Vértice, V

Distancia de F a d, p.

Una parábola, cuyo vértice está en el origen y su eje coincide con el de ordenadas, tiene la siguiente ecuación: y= ax2

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APLICACIONES:

Las curvas cónicas son importantes en astronimía: dos cuerpos masivos que interactúan según la ley de gravitación universal, sus trayectorias describen secciones cónicas si su centro de masa se considera en reposo. Si están relativamente próximas describirán elipses, si se alejan demasiado describirán hipérbolas o parábolas.También son importantes en aerodinámica y en su aplicación industrial, ya que permiten ser repetidas por medios mecánicos con gran exactitud, logrando superficies, formas y curvas perfectas.