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✔ LA ELIPSE

Ecuación canónica

• Dados dos puntos F1F1 y F2F2 llamados focos, se denomina elipse al conjunto de puntos del plano tales que la suma de sus distancias a ambos focos es constante:
• E={P(x,y)|d(P,F1)+d(P,F2)=cte}

A esa constante la llamamos 2 a .

• ELIPSE
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Folie 4

• Consideremos que los focos son los puntos de coordenadas F1(–c,0)F1(–c,0) y F2(c,0)F2(c,0) con c>0c>0, y el punto medio entre los focos, se denomina centro C(0,0)C(0,0). En el siguiente esquema se pueden visualizar estos elementos:
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Folie 5

• Si la distancia entre los focos es d(F1,F2)=2cd(F1,F2)=2c , la condición para que sea una elipse es:
• a>c>0a>c>0
• Si elevamos al cuadrado:
• a2>c2a2>c2
• A la diferencia se la llama b2b2:
• a2–c2=b2a2–c2=b2
• ⇒a2=b2+c2
• Haciendo una deducción se llega a:
• x2a2+y2b2=1,a>b>0x2a2+y2b2=1,a>b>0
• Es la ecuación canónica de la elipse con centro (0,0)(0,0) y eje focal y=0y=0(eje xx).
• Busquemos las intersecciones con los ejes:
• Si y=0:y=0: x2=a2⇒x=±a⇒V1,2=(±a,0)x2=a2⇒x=±a⇒V1,2=(±a,0)
• Si x=0:x=0: y2=b2⇒y=±b⇒V3,4=(0,±b)y2=b2⇒y=±b⇒V3,4=(0,±b)
• Estos cuatro puntos se denominan vértices de la elipse.
• aa se denomina semieje mayor
• bb es el semieje menor
• cc es la semidistancia focal: (distancia del centro a un foco)
• 2c es la distancia entre los focos
• Eje focal: es la recta que pasa por los focos, en este caso el eje x

Folie 6

• La gráfica representando todos estos elementos es la siguiente:
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Folie 7

• Observen que el centro es centro de simetría de la elipse.
• Si en la ecuación canónica anterior permutamos x por y ( x↔↔y) queda:
• y2a2+x2b2=1,a>by2a2+x2b2=1,a>b
• Es la ecuación canónica de la elipse con centro(0,0)(0,0) y eje focal x=0x=0 (eje yy).
• En este caso las coordenadas de los vértices y focos son:
• Vértices: V1(0,a)V1(0,a), V2(0,–a)V2(0,–a), V3(–b,0)V3(–b,0), V4(b,0)V4(b,0)
• Focos: F1(0,–c)F1(0,–c), F2(0,c)

Folie 8

Folie 9

• Gráfica y elementos de la Elipse conociendo la ecuación canónica | Ejemplo 1 (Einbetten)

Folie 10

• Gráfica y elementos de la Elipse conociendo la ecuación canónica | Ejemplo 2 (Einbetten)

Folie 11

• Ecuación canónica de la Elipse conociendo la gráfica | Ejemplo 2 (Einbetten)

Gracias...

• Hecho por Rayin Rodriguez