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CÓNICAS

1. Circunferencia

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• Línea curva cerrada cuyos puntos equidistan de otro situado en el mismo plano que se llama centro.

1.1. Aplicaciones

2.Elipse

• Figura geométrica curva y cerrada con dos ejes perpendiculares desiguales que resulta de cortar la superficie de un cono por un plano no perpendicular a su eje y, que tiene forma de una circunferencia achatada.
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2.1.Elementos

• Focos: Son los puntos fijos F y F'.
• Eje focal: Es la recta que pasa por los focos.
• Eje secundario: Es la mediatriz del segmento FF'.
• Centro: Es el punto de intersección de los ejes.
• Radios vectores: Son los segmentos que van desde un punto de la elipse a los focos: PF y PF'.
• Distancia focal: Es el segmento de longitud 2c, c es el valor de la semidistancia focal.
• Vértices: Son los puntos de intersección de la elipse con los ejes: A, A', B y B'.
• Eje mayor: Es el segmento de longitud 2a, a es el valor del semieje mayor.
• Eje menor:Es el segmento de longitud 2b, b es el valor del semieje menor.
• Ejes de simetría: Son las rectas que contienen al eje mayor o al eje menor.
• Centro de simetría: Coincide con el centro de la elipse, que es el punto de intersección de los ejes de simetría.

2.2.Aplicaciones

• La ellipse se utiliza en diferentes campos:
• -En la medicina.
• -En la astronomia.
• -En la arquitectura.
• -En el envio de señales por satélite.
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2.2.1. En la medicina

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• En la medicina se usa un aparato llamado litotriptor para desintegrar "cálculos" renales por medio de ondas intra-acuáticas de choque. El funcionamietno de este aparato es de la siguiente forma, se coloca un medio elipsoide lleno de agua pegado al cuerpo del paciente en el foco de esta parte del elipsoide se pone un generador de ondas; el foco de la otra parte del elipsoide se debe localizar en estos "cálculos" y así al reflejarse las ondas en la superficie de la elipsoide de afuera del paciente todas convergeran en el "cálculo" y este se desintegrará. Además existen capillas o galerías de los secretos. Son estructuras con techos elipsoidales aquí se puede oir a una persona que está en un foco desde el otro foco y las personas que están entre las otras dos no oirá nada.

2.2.2.En la astronomia

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• Explica la teoría de que la tierra gira alrededor del sol El astrónomo Johannes Kepler (1571-1630) descubrió que las órbitas que describen los planetas al girar alrededor del sol son elipses que tienen al sol en uno de sus focosSin lugar a dudas las cónicas son las curvas más importantes que la geometría ofrece a la Física.
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2.2.3.En la arquitectura

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• El uso de la elipse (tanto en planta y elevación) es muy frecuentes ya que permite crear espacios curvilíneos especialmente dinámico.
• Ejemplos de la elipse en la arquitectura sería:
• -La Plaza Medieval de Lucca.
• -El anfiteatro de Pompeya.
• -El puente sobre el Sena.
• -Generalife (La Alhambra).

2.2.4.Envio de señales satélite

• Antenas para captar señales de comunicación e informática.
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2.3.Donde podemos encontrarla

Folie 12

Folie 13

3.Hipérbola

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• Es el lugar geométrico de los puntos de un plano cuya diferencia de distancias (d1 y d2) a dos puntos fijos llamados focos (F1 y F2) es constante.
• El valor de esa constante es la distancia entre los vértices V1 y V2 de la hipérbola (2a).

3.1.Elementos

• Focos: son los dos puntos fijos (F1 y F2).
• Radio vector: es la distancia R de un punto de la hipérbola (P) a cualquiera de los focos.
• Eje focal: es el eje de simetría E que une a los dos focos. También se llama eje transverso.
• Eje no transverso: es la mediatriz T del eje focal.
• Centro: es el punto medio O de los dos focos. También se puede definir como la intersección del eje focal y el transverso.
• Vértices: son los dos puntos de intersección del eje focal con la hipérbola (V1y V2).
• Distancia focal: es la distancia 2centre focos. También se denota como F1F2.
• Eje real: es es la distancia 2a entre vértices.
• Eje imaginario: es la distancia 2b de los puntos B1 y B2. Los puntos B1 y B2 se generan como vemos en las relaciones entre ejes.
• Asíntotas: son las líneas rectas (A1 y A2) que se aproximan a la hipérbola en el infinito.
• Puntos interiores y exteriores: la hipérbola divide el plano en tres regiones. Dos regiones que contienen un foco cada una y otra región sin ningún foco. Los puntos contenidos en las regiones con un foco se llaman interiores (I) y los otros exteriores (Ex).

3.2.Aplicaciones

• La hipérbola tiene una propiedad interesante: Si unimos cualquier punto, P, de la hipérbola con sus focos, el ángulo que forman los radios focales con la tangente en esepunto, son iguales. Por ello se utiliza en:
• -La construcción de espejos.
• -La astronomía.
• -La arquitectura.
• -Sistema de navegación Loran.
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3.2.1.Construcción de espejos

• Debido a la propiedad de la hipérbola se utiliza en la construcción de espejos (de luz y sonido), pues la emisión, de luz o sonido, desde el foco se refleja en la dirección de la recta que une el otrofoco con el punto.
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3.2.2.En la astronomía

• Aplicada en astronomía: Trayectorias de cometas.
• Un cuerpo celeste que provenga del exterior del sistema solar y sea atraído por el sol, describirá una órbita hiperbólica,teniendo como un foco al sol y saldrá nuevamente del sistema solar. Esto sucede con algunos cometas.
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3.2.3.Arquitectura

• En mecánica se usan en el diseño de estructuras hay algunas veces que los resultados de las fuerzas sobre una viga dan en forma de hipérbola.
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3.2.4.Sistema de navegación

• La propiedad de la definición de la hipérbola "la diferencia de las distancias de los puntos de la hipérbola a los focos es constante", se utiliza en la navegación. En el sistema de navegación LORAN, una estación radioemisora maestra y otra estación radioemisora secundaria emiten señales que pueden ser recibidas por un barco en altamar. Puesto que un barco que monitoree las dos señales estará probablemente más cerca de una de las estaciones, habrá una diferencia entre las distancias recorridas por las dos señales, lo cual se registrará como una pequeña diferencia de tiempo entre las señales.
• En tanto la diferencia de tiempo permanezca constante, la diferencia entre las dos distancias será también constante. Si el barco sigue la trayectoria correspondiente a una diferencia fija de tiempo, esta trayectoria será una hipérbola cuyos focos están localizados en las posiciones de las dos estaciones. Si se usan dos pares de transmisores, el barco deberá quedar en la intersección de las dos hipérbolas correspondientes.

Folie 21

3.3.Donde podemos encontrarla

Folie 23

Folie 24

• También la puedes encontrar si usas una linterna (cuyo haz de luz es cónico) y la colocas paralela a una pared, el borde de luz que se ve contra la pared es una perfecta hipérbola.
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