Karteikarten
Verständnisfragen Kurvendiskussion
Karten in diesem Stapel (17)
- 1Wie lässt sich die erste Ableitung geometrisch interpretieren?Die erste Ableitung an einer Stelle x_0 liefert die Steigung der Ausgangsfunktion f(x) an der Stelle x_0 bzw. im Punkt (x_0/f(x_0)).
Visualisiert werden kann die Steigung, indem man die Tangente einzeichnet.
Eine positive Steigung heißt, dass der Graph steigt, eine negative, dass der Graph fällt. - 2Erläutere, wie du die Steigung von f(x)=x²+3x im Punkt (1/4) ermittelst.Ich berechne f'(x)=2x+3 und setze den x-Wert ein:
f'(1)=2*1+3=5
Also hat f(x) im Punkt (1/4) die Steigung 5.
Das ist schon ziemlich steil.
Achtung: Den y-Wert 4 habe ich gar nicht gebraucht. - 3Erläutere, wie du nachweist, dass der Graph von f(x) an der Stelle x_0 fällt.Ich berechne die Ableitung f'(x) und rechne nach, dass f'(x_0) negativ ist.
- 4In welchem der Punkte ist der Graph von f(x)=x²+0,5x steiler, in P(1/1,5) oder in Q(-2/3)?f'(x)=2x+0,5
Steigung in P(1/1,5): f'(1)=2,5
Steigung in Q(-2/3): f'(-2)=-3,5
In P steigt der Graph, in Q fällt er, aber steiler ist der Graph in Q,
weil |-3,5|=3,5 > 2,5 ist. - 5Was weißt du über die Steigung in Hoch- und Tiefpunkten?In Hoch- und Tiefpunkten, also in Extrempunkten, ist die Steigung = 0, also
f'(x)=0. - 6Gibt es neben Hoch- und Tiefpunkten noch andere Punkte, in denen die Steigung Null ist?Ja, Sattelpunkte.
- 7Erläuter das Verfahren zu Extrempunktberechnung.1: Ich berechne die ersten beiden Ableitungen f'(x) und f''(x)
2: Ich berechne die Nullstellen der ersten Ableitung: f'(x)=0
Das liefert mir die kritischen Stellen. An kritischen Stellen liegt entweder ein Hochpunkt, ein Tiefpunkt oder ein Sattelpunkt.
3: Ich teste die kritische Stellen, indem ich sie in die zweite Ableitung einsetze:
Ist die zweite Ableitung an einer kritischen Stelle
- negativ, so ist dort ein HP
- positiv, so ist dort ein TP
- gleich 0, so kann ich noch
keine Aussage treffen.
4: Die fehlende y-Koordinate erhalte ich durch Einsetzen des x-Wertes in die Ausgangsfunkion f(x). - 8Welche Bedeutung hat die zweite Ableitung?Mit der zweiten Ableitung kann die Krümmung der Ausgangsfunktion berechnet werden.
In linksgekrümmten/konvexen Bereichen ist die zweite Ableitung positiv oder Null.
In rechtsgekrümmten/konkaven Bereichen ist die zweite Ableitung negativ oder Null. - 9Welche Bedeutung haben Wendepunkte?1: In Wendepunkten ändert sich die Krümmung. Übergang von Links- in Rechtkrümmung oder umgekehrt.
2: In Wendepunkten ist die Steigung lokal maximal (falls der Graph dort steigt) oder lokal minimal (falls der Graph dort fällt). In jedem Fall ist der Graph dort lokal am steilsten. - 10Erläutere das Verfahren zur Bestimmung von Wendepunkten.1: Ich berechne die ersten drei Ableitungen f'(x), f''(x) und f'''(x).
2: Ich berechne die Nullstellen der zweiten Ableitung: f''(x)=0
Das liefert mir die kritischen Stellen für Wendepunkte. An den so gefundenen Stellen kann ein Wendepunkt liegen, muss aber nicht.
3: Ich teste die gefundenen Stellen, indem ich sie in die dritte Ableitung einsetze:
Ist die dritte Ableitung dort
- ungleich 0, so ist dort sicher ein WP
- gleich 0, so kann ich noch
keine Aussage treffen.
4: Die fehlende y-Koordinate des WP erhalte ich durch Einsetzen des x-Wertes in die Ausgangsfunkion f(x). - 11Wie berechne ich die Steigung in einem Wendepunkt WP(x_0/y_0)?Ich setze den x-Wert in die erste Ableitung ein, so wie ich es bei jedem anderen Punkt auch tun würde.
- 12Erläutere das Verfahren zur Aufstellung der Tangentengleichung der Tangente an den Graphen von f(x) im Punkt (x_0/y_0).1: Ansatz: y = mx + b
2: m = f'(x_0) -> Ich habe m und setze es in meinem Ansatz ein.
3: y_0 = m * x_0 + b nach b auflösen.
-> Ich habe b.
4: Noch mal sauber hinschreiben:
Tangente an f(x) in (x_0/y_0):
y = mx + b
(berechnete Werte einsetzen) - 13Wie berechen ich den Schnittwinkel einer Funktion f(x) mit der x-Achse?1: Nullstelle von f(x) berechnen: x_0
2: Nullstelle in erste Ableitung einsetzen:
m = f'(x_0)
3: Winkel ausrechen: alpha = tan⁻¹(m)
4: Ist alpha > 90°, nimm den Ergänzungswinkel beta = 180° - alpha. - 14Welchen Ansatz machst du für f(x), um folgenden Graphen zu modellieren:Der Graph ist eine Parabel.
Ich mache den Ansatz:
f(x)=ax²+bx+c
Besser noch wähle ich die Scheitelpunktform, wenn ich den Scheitelpunkt und die Streckung/Stauchung ablesen kann:
f(x)=a(x-x_S)²+y_S
Oder die Nullstellenform, wenn ich die Nullstellen und die Streckung/Stauchung ablesen kann:
f(x)=a(x-x_1)(x-x_2) - 15Welchen Ansatz machst du für f(x), um folgenden Graphen zu modellieren:Die Funktion hat zwei Extrempunkte. Daher muss der Grad von f(x) mindestens 3 sein.
Daher mache ich den Ansatz:
f(x)= ax³+bx²+cx+d
- 16Welchen Ansatz machst du für f(x), um folgenden Graphen zu modellieren:Die Funktion hat drei Extrempunkte. Daher muss der Grad von f(x) mindestens 4 sein.
Daher mache ich den Ansatz:
f(x)= ax⁴+bx³+cx²+dx+e
- 17Welchen Ansatz machst du für f(x), um folgenden Graphen zu modellieren:Die Funktion hat drei Extrempunkte. Daher muss der Grad von f(x) mindestens 4 sein. Außerdem ist der Graph achsensymmetrisch.
Daher mache ich den Ansatz:
f(x)= ax⁴+bx²+c
(nur gerade Exponenten)
Informationen
- Beschreibung
- 13. Klasse Mathematik Karteikarten am Verständnisfragen Kurvendiskussion, erstellt von Nathalie Teuber am 06/03/2018.
- Erstellt von
- Nathalie Teuber
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