DERIVADAS

TEORÍA

Definición: La derivada de una función en un punto mide la velocidad a la que varía el valor de la función en dicho punto al cambiar el valor de la variable independiente.   La derivada es igual a la pendiente de la recta tangente a la función en dicho punto.  

Derivable y derivada: Sean "I" un intervalo abierto de los reales, a un punto de I y sea la función f:I→Rf:I→R Entonces, decimos que f es derivable en el punto a si existe el siguiente límite y, en tal caso, a su valor lo denotamos por f′(a)f′(a):

Nota: los dos límites anteriores son equivalentes. Decimos que f es derivable en I si lo es en todos los puntos del intervalo I. Llamamos derivada de f a la función f′(x)f′(x) siendo x∈Ix∈I.  

DERIVADAS BÁSICAS

a) Derivada de una constante: Es igual a cero. f(x) = k         f´(x) = 0 Ejemplo: f(x) = 5         f´(x) = 0

b) Derivada de una variable de primer grado: es igual a 1 f(x) = x          f´(x) = 1

c) Derivada de un coeficiente por una variable de primer grado: es igual al coeficiente f(x) = a · x       f´(x) = a Ejemplo:  f(x) = 5x          f´(x) = 5

d) Derivada de una variable de grado “n”: es igual a “n” por la variable elevado a “n – 1” f(x) = xn        f´(x) = n · xn-1 Ejemplo:  f(x) = x6        f´(x) = 6x5

e) Derivada de una variable de grado “n” multiplicada por un coeficiente: es igual al coeficiente por el exponente de la variable por la variable elevada al exponente menos uno. f(x) = a · xn       f´(x)= a · n · xn – 1 Ejemplo:  f(x)= 5x6           f´(x) = 5 · 6 · x5 = 30x5

DERIVADAS DE OPERACIONES

a) Derivada de una suma: Es igual a la suma de las derivadas de los sumandos. f(x) = v + w                  f´(x) = v´ + w´   Ejemplo: f(x)= 3x + 7x                        f´(x)= 3 + 7 f(x)= 4x3 + 5x2 + 7x              f´(x)= 12x2 + 10x+ 7  

b) Derivada de una resta: Es la resta de las derivadas de los términos. f(x)= v - w                       f´(x)= v´ - w´   Ejemplo: f(x)= 2x - 3x                     f´(x)= 2 - 3 f(x)= 5x4 - 6x3 - 2x           f´(x)= 20x3 - 18x2 - 2

c) Derivada de una función de grado “n”: f(x)= a0xn + a1xn-1 + a2xn-2 + … + an-2x2 + an-1x + an f´(x)= (a0·n·xn-1) + (a1·n-1·xn-2) + (a2·n-2·xn-3) + … + (an-2·2·x) + (an-1)   Ejemplo: f(x)= 7x5 + 3x4 - 2x2 + 5 f´(x)= 35x4 + 12x3 - 2x

d) Derivada de un producto: Es la suma de la derivada del primer factor por el segundo factor sin derivar más el primero sin derivar por la derivada del segundo f(x)= v · w                  f(x)= (v´ · w) + (v · w´)   Ejemplo:     

e) Derivada de una constante por una función: Es igual a la constante por la derivada de la función. f(x)= k · w              f´(x)= k · w`   Ejemplo: f(x)= 5 · (4x3 - 2x)        f´(x)= 5 · (12x3 - 2)

f) Derivada de un cociente:  Es el cociente de: Numerador: derivada del numerador por el denominador sin derivar menos el numerador por la derivada del denominador. Denominador: denominador al cuadrado.

  Ejemplo:

g) Derivada de una función dividida por una constante:  Es igual a la derivada de la función dividida entre la constante.

Ejemplo:

h) Derivada de una constante dividida por una función: Es igual a menos la constante por la derivada de la función, dividido entre la función al cuadrado.

Ejemplo:

i) Derivada de una potencia:  Es igual al exponente por la base elevada al exponente menos 1 por la derivada de la base.

Ejemplo:

j) Derivada de una raíz cuadrada:  Es igual a la derivada del radicando dividido entre 2 por la raíz cuadrada del radicando.

Ejemplo:

k) Derivada de una raíz de grado “n”:  Es igual a la derivada del radicando dividida entre el producto del índice de la raíz por la raíz de grado “n” del radicando elevado a “n-1”.

Ejemplo:

l) Derivada de un logaritmo: Hay dos formas de definirla: Es igual al producto de dos factores: la derivada del argumento “w” dividida por el argumento multiplicado por el logaritmo en base “b” del número “e”.

Ejemplo:

También se puede definir: La derivada del argumento “w” dividido por el argumento multiplicado por uno dividido por el logaritmo neperiano de la base “b”.

Ejemplo:

m) Derivada de un logaritmo neperiano:  Es igual a la derivada del argumento dividido por el argumento.

Ejemplo:

n) Derivada de una función exponencial:  Es igual a la derivada del exponente por el número elevado al exponente por el logaritmo neperiano de la base.

Ejemplo:

Si la base de la función exponencial es el número “e” su derivada es igual a la derivada del exponente por el número elevado al exponente

Ejemplo:

o) Derivada de una función potencial exponencial:  Es igual a la derivada de la expresión como función potencial más la derivada de la expresión como función exponencial.

Ejemplo:

DERIVADAS TRIGONOMETRICAS

a) Derivada del seno: La derivada del seno de una función “w” es la derivada de esa función por el coseno de dicha función:

  Ejemplo:

b) Derivada del coseno:  De una función es igual a menos el seno de la función por la derivada de la función.

Ejemplo:

c) Derivada de la tangente: La derivada de la tangente de una función “w” es igual a la derivada de la función dividida por el coseno al cuadrado de dicha función:

Ejemplo:

d) Derivada de la cotangente: La derivada de la cotangente de una función “w” es igual a la derivada de la función con signo negativo dividida por el seno al cuadrado de dicha función:

Ejemplo:

e) Derivada de la secante: La derivada de la secante de una función “w” es igual a la derivada de la función por el seno de la función dividido por su coseno al cuadrado de la función:

Ejemplo:

f) Derivada de la cosecante: La derivada de la cosecante de una función “w” es igual a la derivada de la función con signo negativo por el coseno de la función dividido por su seno al cuadrado:

Ejemplo:

DERIVADAS TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS

a) Derivada del arcoseno: La derivada del arcoseno de una función “w” es igual a la derivada de la función dividida por la raíz cuadrada de 1 menos la función al cuadrado:

Ejemplo:

b) Derivada del arcocoseno: La derivada del arcocoseno de una función “w” es igual a la derivada de la función con signo negativo dividida por la raíz cuadrada de 1 menos la función al cuadrado:

Ejemplo:

c) Derivada del arcotangente: La derivada del arcotangente de una función “w” es igual a la derivada de la función dividida por 1 más la función al cuadrado:

Ejemplo:

d) Derivada del arcocotangente: La derivada del arcocotangente de una función “w” es igual a la derivada de la función con signo negativo dividida por 1 más la función al cuadrado:

Ejemplo:

e)Derivada del arcosecante: La derivada del arcosecante de una función “u” es igual a la derivada de la función dividida por la función multiplicada por la raíz cuadrada del cuadrado de la función menos 1.

f) Derivada del arcocosecante:  La derivada del arcocosecante de una función “w” es igual a menos la derivada de la función dividida por el producto de la función por la raíz cuadrada de la función al cuadrado menos 1:

Ejemplo:

REGLA DE LA CADENA

Es un teorema de gran importancia por su aplicación. Este resultado es el que nos permite calcular la derivada de la composición de funciones. Regla de la cadena: Sean f y g dos funciones tales que f es derivable en a y g es derivable en f(a)f(a), entonces (g∘f)′(a)=g′(f(a))⋅f′(a) Ejemplo: Calcular la derivada de la función f(x)=sin(x2)f(x)=sin(x2) con el límite de la definición de la derivada sería una tarea más o menos tediosa que podemos evitar. La función f es composición de las funciones h(x)=sin(x)h(x)=sin(x) y g(x)=x2g(x)=x2: f(x)=(h∘g)(x)=h(g(x))f(x)=(h∘g)(x)=h(g(x)) Las derivadas de las funciones implicadas son h′(x)=cos(x)h′(x)=cos(x) y g′(x)=2xg′(x)=2x. Aplicamos la regla de la cadena: f′(x)=h′(g(x))⋅g′(x)=f′(x)=h′(g(x))⋅g′(x)= =cos(x2)⋅2x

Mas ejemplos:

a) h(x) = sen x5

Tenemos una función de seno g[f(x)] = sen (a), siendo “a” una función potencia f(x) = x5. La derivada de la función compuesta es: g´[f(x)] = cos a; si sustituimos “a” por su valor = cos x5 f´(x) = 5x4 Luego: h´(x) = g´[f(x)] * f´(x) = cos x5 * 5x4

b) h(x) = (4x3 + 2x2 – 3x)5

Tenemos una función potencia g[f(x)] = a5, siendo la base “a” una función polinómica f(x) = (4x3 + 2x2 – 3x). La derivada de la función compuesta es: h´(x) = g´[f(x)] * f´(x) Por tanto: g´[f(x)] = 5a4 ; si sustituimos ”a” por su valor = 5 * (4x3 + 2x2 – 3x)4 f´(x) = (12x2 + 4x– 3) Luego: h´(x) = g´[f(x)] * f´(x) = 5 * (4x3 + 2x2 – 3x)4 * (12x2 + 4x– 3)

c)

Tenemos una función exponencial g[f(x)] = 4a cuyo exponente “a” es una función polinómica f(x) = 3x. La derivada de la función compuesta es: h´(x) = g´[f(x)] * f´(x) Por tanto: g´[f(x)] = 4a * ln 4; si sustituimos ”a” por su valor  =  f´(x) = 3 Luego:  

PARA UN MEJOR APRENDIZAJE, SÍRVASE A VISUALIZAR ESTE VIDEO DONDE SE EXPLICARA A MAS DETALLE LO QUE SON LAS DERIVADAS: https://www.youtube.com/watch?v=_6-zwdrqD3U - Gabriel Durán 5to Newton