Matemática I - Conjuntos Numéricos (Capítulo 1)

Números

- Símbolos

- Notação Posicional

- Adição -> Soma (Resultado)

- Multiplicação -> Produto (Resultado)

- Subtração

- Divisão

- Números Positivos

- Números Negativos

- Números Fracionários

- Números Não-Fracionários (Potenciação e Radiciação)

Teoria dos Conjuntos

Possibilitou conceituar, classificar e estudar os números com rigor e precisão. Os números são representados por conjuntos, numa ordem lógica, levando em conta suas propriedades e as operações que podem ser efetuadas com eles.

Conjunto N (números naturais); conjunto Z (números inteiros); conjunto Q (números racionais); e conjunto R (números reais). Na álgebra ainda há o conjunto C (números complexos).

- Conjunto N -> É fechado para as operações de adição e multiplicação -> Se a pertence à N e b pertence à N, então (a+b) pertence à N; e (a . b) pertence à N; (lembrando que . é sinal de multiplicação;

- Conjunto Z -> É fechado para as operações de adição, multiplicação e subtração;

- Conjunto Q -> Usamos para conceituar a divisão. É fechado para as operações de adição, multiplicação, subtração e divisão;

- Conjunto R -> Usamos para medir comprimentos, áreas, volumes, intervalos de tempo, massas, energias, temperaturas, níveis, etc. É fechado para as operações de adição, multiplicação, subtração e divisão;

- Conjunto C -> Usamos no estudo de equações algébricas.

Subconjunto ("C")

Sobre a imagem: Sendo A e B dois conjuntos, dizemos que A é subconjunto de B, ou A está contido em B, se, e somente se, todo elemento de de A é elemento de B.

Notação: B (símbolo de contido*) A

OBS.: O conjunto A pode ser vazio. Neste caso a notação seria (símbolo de vazio*) (símbolo de contido*) A

União ou Reunião (U)

Junção dos elementos do conjunto A com B (dos conjuntos solicitados no enunciado)

Intersecção ("U de cabeça para baixo")

Elementos presentes tanto em um conjunto quanto no outro/ elementos presentes nos dois conjuntos.

Diferença (-)

Quando o enunciado solicita a diferença entre o conjunto A e o conjunto B (A-B); eu devo "jogar fora" os números que A e B possuem em comum. Assim, sobrará somente o que diferencia o conjunto A do conjunto B.

Complementar

É sempre o conjunto de baixo menos o conjunto de cima (ver imagem). Isso significa: os elementos que tem em no primeiro conjunto, mas que não tem no segundo.

OBS.: O resultado pode coincidir com o da diferença.

1. Ponderações sobre o Conjunto N: Usaremos a notação N* para o conjunto {1,2,3,...}, isto é, N* = N - {0}.

2. Ponderações sobre o Conjunto Z: Se só existissem os números naturais, não poderíamos subtrair "à vontade". Qual seria, nesse caso, o significado de 1-2? Para eliminar essa "barreira", foi criado o conjunto dos números inteiros: Z= {..., -3,-2,-1,0,1,2,3...}.

Todo número natural é um número inteiro e, portanto, N "C" Z (N está contido em Z).

- Z* = Z - {0} -> Conjunto dos números inteiros não nulos;

- Z*+ = {1,2,3,...,k, k+1,...} -> Conjunto dos números inteiros positivos;

- Z*_ = {-1,-2,-3,.., k, k-1,...} -> Conjunto dos números inteiros negativos;

- Z+ = {0,1,2,3,...,k, k+1,...} -> Conjunto dos números inteiros não negativos;

- Z_ = {0,1,2,3,... k, k-1, ...} -> Conjunto dos números inteiros não positivos.

OBS.: O mesmo ocorre com o conjunto R.

3. Ponderações sobre o Conjunto Q: No conjunto Z não podemos dividir "à vontade". Dessa impossibilidade surge a necessidade de uma nova extensão - o conceito de número racional.

Número racional é todo número que pode ser expresso na forma a/b =, onde a e b são números inteiros, com b diferente de 0 (a pode ser igual a 0). O número racional é a razão (quociente) de dois números inteiros.

No conjunto Q não há os conceitos de sucessor e antecessor.

0/1 = 0 1/0 = Nulo

1. Decimais Exatos -> 0,15 = 15/100'; 1,25 = 125/100'; -32,131 = -32.131/1.000

2. Decimais Periódicos (Dízimas Períódicas) -> Pode ser Dízima Periódica Simples (ex.: 1,424242... = 1,42 (com uma barra, denominada período, em cima do número depois da vírgula (que se repete) (1,42 periódico)); ou Dízima Periódica Composta (ex.: 1,3424242... = 1,342 com uma barra em cima do número 42 somente, que é o que se repete, denominada período), o 3 seria o denominado "intruso".

4. Números Irracionais (Conjunto I) e o Conjunto R: Há mais de dois milênios, a descoberta do Teorema de Pitágoras provocou uma crise na Escola Pitagórica, pois se descobriu, então, um segmento (a diagonal de um quadrado de lado 1) que não podia ser medido por um número racional. A solução final do problema foi dada com a criação da teoria dos números irracionais e reais, pelos matemáticos Dedekind e Cantor, no final do século XIX.

Números Irracionais são números cujas apresentações decimais não são exatas, e também não são periódicas. São infinitas e não periódicas. Assim, para exibir um número irracional é, evidentemente, impossível escrever todos os infinitos algarismos. Ainda, é impossível escrevê-lo em fração.

Conjunto dos números Reais (R): Da união do conjunto dos números recionais com o conjunto dos números irracionais obtemos o Conjunto dos Números Reais.

Quanto aos números reais temos a chamada "reta real": uma espécie de régua, sem fim, nem começo, na qual são representados o número 0, todos os números positivos (maiores que zero) e todos os números negativos (menores que zero). O chamado "postulado da continuidade da reta" garante que todo número real (racional e irracional) é representado por um ponto da reta.

- Para todo número real x existe um número real -x, chamado de oposto ou simétrico de x.

- Para todo número real x (x diferente de 0) existe um número real 1/x, chamado de inverso ou recíproco de x,

R = {x|x "E" Q ou X "E" I}

- Intersecção entre conjunto Q e I é igual a nulo.

- União entre Q e I e igual a R

- A soma, a diferença, o produto e o quociente de dois números irracionais podem ser racionais ou irracionais.

Intervalos

No intervalo fechado, a e b estão "fechados com o conjunto", logo, pertencem ao conjunto.

OBS.: o colchete aberto também pode ser representado por parênteses.

Ex.: [3,8[ = [3,8); ]3,8[ = (3,8)

OBS.: O infinito surge "do nada", e vai até o nada.

OBS. II: Onde tem mais e menos infinito é SEMPRE colchete aberto.

Lembrando que, a respeito dos números negativos, a ideia de existir números negativos é representar quando a pessoa está devendo.