Tema 2

CÁLCULO DE LOS VALORES DE PROBABILIDAD

APLICACIÓN AL CÁLCULO DE LA PROBABILIDAD

Probabilidad

Experimento aleatorio

Espacio muestral

Es el cálculo matemático el cual se mide la posibilidad o certidumbre, que tiene un acontecimiento concreto de producirse.

Objetivo

Establecer y desarrollar modelos matemáticos adaptados al estudio de situaciones que presentan cierto grado de incertidumbre.

Se define como aquel experimento del que no se conoce el resultado que se va a obtener, ya que este depende del azar.

Es el conjunto de todos los resultados posibles en un experimento aleatorio

Suceso

Es cada uno de los resultados posibles que podeos obtener en un experimento aleatorio.

Tipos de sucesos

Suceso elemental

Suceso compuesto

Suceso Seguro

Suceso compatible

Suceso imposible

Suceso incompatible

Suceso contrario

Suceso independiente

Suceso dependiente

Nos aporta información de un único resultado

Nos aporta información de varios resultados

Es aquel que se repite de manera continua

Un suceso que nunca se produce

Suceso que puede darse de manera simultánea

Son aquellos que no pueden darse al mismo tiempo o de manera simultánea.

Obtener A o lo contrario de A

Cuando la probabilidad de A o B no se ve afectada por la probabilidad de A o B.

La probabilidad de que suceda el suceso A afecta a la probabilidad de que suceda el suceso B y viceversa.

Regla de Laplace

Permite conocer la probabilidad de un suceso A, que se representará como P(A).

AXIOMAS DE LA RPOBABILIDAD

"Enunciado, idea o propósito que por clara y evidente se acepta sin demostración."

"Principio sobre el cual se compone y ordena un teoría "

3 Axiomas

Axioma 1: (No negativo)

Axioma 2(certidumbre)

Axioma 3 (adición)

La probabilidad es siempre positiva, igual o menor que uno.

La probabilidad de un evento seguro, nombremos E al evento, siempre es 1

Cuando los sucesos A y B son sucesos incompatibles, no pueden realizarse al mismo tiempo.

Tipos de sucesos

Suceso incompatibles

Sucesos compatibles

Sucesos compatibles exclusivos

Sucesos independientes

La probabilidad de que ocurra dos eventos o sucesos incompatibles (excluyentes) "A" ó "B" es igual:

P(A ó B) = P(A U B) = P (A) + P (B)

La probabilidad de que ocurran dos eventos compatibles "A· o "B es igual.

P (A U B) = P (A) + P (B) – P (A Ռ B)

La probabilidad de sucesos compatibles exclusivos, A o B exclusivamente es igual a:

P(A o B)exclusivamente = P(A) + P(B) − 2P(A ∩ B)

Dos eventos "A" y "B" son independientes si "A" no influye de ninguna manera en "B" y viceversa, por tanto la probabilidad de que ocurra uno de ellos no depende de la probabilidad de que ocurra el otro (no está condicionada al otro)

P(A y B) = P(A Ռ B) = P(A) x P (B)

Probabilidad condicionada

Se define como el cociente entre los casos favorables y aquellos que cumplen una condición. Es la probabilidad de ocurrencia de un fenómeno dentro de un subgrupo.

P(A\B) = P(AՌB)/P(B)

Teorema de Bayes

Partiendo de la probabilidad del suceso A condicionada al suceso B P(A\B), el teorema de Bayes calcula la probabilidad de B condicionada a A P(B\A) despejando de la fórmula.

P(A\B) = P(AՌB)/P(B)

P(AՌB) = P(A\B) ∗ P(B)

DISTRIBUCIÓN DE VARIABLES CONTINUAS

Una variabe aleatoria sigue una distribución continua cuando cumple que x puede tomar cualquier vaor en un intervalo. Este tipo de distribución se conoce como distribución normal.

Abarcan los valores desde menos infinito hasta más infinito

Propiedades para que f(X) sea la función de densidad o de probabilidad de una variable aleatoria

La función debe ser positiva para que cualquier valor de x, es decir, todos los valores de la variable se deben encontrar por encima de eje de abscisa.

El área bajo la curva y=f(x) debe ser igual a 1

Esta distribución tiene ciertas características

P(A)=0: Si se desea calcular la probabilidad de una variable continua para un suceso concreto (suceso puntual) en una población infinita.

P(a<=x<=b)=P(a<x<b): ya que P8A) o P(B) es igual a 0. La igualdad es independiente en este caso concreto

DISTRIBUCIÓN NORMAL

Concepto de distribución normal y propiedades de la curva normal

Definición

Características

sirve para conocer la probabilidad de encontrar un valor de la variable que sea igual o inferior a un cierto valor

El valor medio, es la media del conjunto de datos, pero al mismo tiempo es la mediana y la moda.

La curva de la distribución normal es simétrica, es decir, presenta las mismas características a la derecha que a la izquierda.

Muchos parámetros que pueden ser estudiados se ajustan a esta distribución, a esta curva. Por ello se denomina distribución normal.

La media de la población se representará como μ

Valores típicos y desviación típica

La distribución normal viene definida por la media y la desviación típica. Tanto la media como la desviación típica se pueden representar en un gráfico lo cual proporciona información de manera visual.

Cuanto menor es la desviación típica, menor es la dispersión, por lo tanto, los valores están más cercanos al valor medio.

Límites 2 σ e interpretación

Se puede interpretar la media como factor de traslación

Se puede interpretar la desviación tía como un factor de escala o grado de dispersión

Características de la distribución normal

Tener forma de campana, por lo que también se le conoce como "campana de Gauss"

Ser simétrica respecto al punto central de la campana donde coinciden media mediana y moda

Ser mesocúrtica ( no excesivamente aplanada no excesivamente puntiaguda)

Su dispersión está perfectamente definida

Se a distribución muestral que siguen los índices o estimadores estadísticos calculados en una seria de muestras de la misma población.

El intervalo medio +- desviacion estándar agrupa (μ ± σ) el 68% de los valores centrales

El intervalo medio +- dos desviaciones estándar (μ ± 2σ) agrupa el 95% de los valores centrales.

El intervalo medio ± tres desviaciones estándar (μ ± 3σ) agrupa el 99% de los valores centrales.

Distribución normal tipificada

Z= x- μ /σ

Hasta ahora hemos trabajo con distribución normales N(0,1), en las que la media es 0 y la desviación típica es 1.

INFERENCIAS ESTADÍSTICAS

Estimación de parámetros poblacionales

Intervalo de confianza

Extraemos una muestra de una población

Calculamos la media de una variable aleatoria en los individuos de dicha muestra

A partir del parámetro muestral, queremos estimar cual es el valor de la media de dicha variable en la población

>Es un rango de valores de la variable en el que nosotros confiamos que esté incluido el verdadero parámetro poblacional.

Previamente se establece el error alfa que estamos dispuestos a estimar.

El nivel de confianza de la estimación “1-a” determina la población de que el intervalo de confianza contenga el valor verdadero del parámetro.

Es frecuente establecer el nivel de confianza en torno a 95%.

Calculo del intervalo de confianza para la media

Para estimar la media μ de una población partiendo de una muestra n de la cual conocemos su media y desviación estándar, no habrá problema si la población de partida es normal, en caso contrario necesitamos una muestra relativamente grande y elegida de forma representativa,

SIGNIFICACIÓN ESTADÍSTICA MEDIANTE EL GRADO P

Una vez obtenido el parámetro poblacional a partir de los datos de una muestra, ahora pretendemos saber si ese parámetro es estadísticamente significativo.

Contraste de hipótesis

Establecer una hipótesis que se asume como cierta de entrada. H0(hipótesis nula

Medir el grado de significación p con alguno de los diferentes test de contraste de hipótesis

Decidimos si el resultado es sifnificativo

Error tipo 1 o error alfa ( falso positivo), es el error aleatorio consiste en rechazar h0 cuando realmente es cierta.

Hipótesis alternativa H1, es la proposicion que se aceptara si H0, resulta rechazada

Hipótesis nula H0: es la proposición que se considera cierta de entrada, suya veracidad se somete a examen.

Nivel de confianza ((1- a, complementario de alfa)

Test de Chi cuadrado

Es la prueba de contraste de hipótesis más utilizada en Medicina y Biología para comparar proporciones o porcentajes entre variables cualitativas. Con datos agrupados en categorías y presentados en tablas de frecuencias con las que se da cada categoría

Grado de libertad

Chi calculado

Chi tabla

Se calcula en función del número de filas y columnas de la tabla de contingencia (V)

1. Calculamos Chi x2 mediante su fórmula

2. Después buscamos el resultado en la tabla de Chi cuadrado y obtenemos la P

3. Cuando tenemos la P, comparamos con nel error alfa

Cuando P< error alfa--> Aceptamos H1

Cuando p> error alfa--> Aceptamos h0

Cuando p=error alfa --> No aceptamos ni H0 ni H1

Cuando nos da la P, podemos calcular los grado de libertad.

Miramos la v y la p y obtenemos el chi cuadrado