Fichas
13.5 Vier Prinzipien der Konvergenztheorie
Fichas del conjunto (20)
- 1Wann heißt eine Folge monoton wachsend?Wenn das nächste Folgenglied stets größer gleich dem Aktuellen ist:
\( a_{n+1} ≥ a_n \) - 2Wann heißt eine Folge monoton fallend?Wenn das nächste Folgenglied stets kleiner gleich dem Aktuellen ist:
\( a_{n+1} ≤ a_n \) - 3Wann ist eine Folge monoton?Wenn sie entweder monoton wachsend oder fallend ist
- 4Was besagt das Monotonieprinzip?Jede monotone und beschränkte Folge konvergiert. Ist die Folge monoton wachsend, strebt sie gegen das Supremum, ist sie monoton fallend, dann gegen das Inifimum der Folge
- 5Ergänze: Eine monotone Folge konvergiert genau dann wenn sie..?beschränkt ist
- 6Was ist der Grenzwert der Folge: \( (1 + \frac{1}{n} )^n \) und wie wird diese Zahl bezeichnet?2,7182818
Die Eulersche Zahl, e - 7Was ist der Grenzwert der Folge: \( ( 1-\frac{1}{n})^n \)Der Kehrwert der eulerschen Zahl:
\( \frac{1}{e} \) - 8Was bedeutet k! ?Die Fakultät:
1*2*3*4...*(k-1)*k - 9Wie lässt sich die eulersche Zahl durch die Fakultät ausdrücken?Als Grenzwert der Folge:
Summe (1/k!)
\( \sum\limits_{k=0}^n \frac{1}{k!} \) - 10Was ist eine "Gipfelstelle" einer Folge?ein Element der Folge, für das alle folgenden Elemente kleiner diesem Element sind.
- 11Wie lautet das "Auswahlprinzip von Bolzano-Weierstraß"Jede beschränkte Folge enthält eine konvergente Teilfolge
- 12Ergänze: Jede Folge enthält eine ... (-folge)?monotone Teilfolge
- 13Welche Eigenschaft muss eine Folge aufweisen, damit sie auch eine : "Cauchy"-Folge ist?späte Glieder der Folge liegen beliebig dicht beieinander
- 14Beschreibe die Eigenschaften einer Cauchyfolge mit eigenen Worten.wenn es zu jedem \( \epsilon \) > 0 ein Index \( n_0 \) gibt, so dass der Abstand zweier folgender Glieder stets kleiner ist als \( \epsilon \)
- 15Interpretiere die Definition der Cauchyfolge.Da sich stets beliebige Indizes und \( \epsilon \) finden lassen, ab dem der Abstand der folgenden Glieder kleiner als \( \epsilon \) ist..
==> verringert sich der Abstand der Folgenglieder immer weiter - 16Wie ist der Zusammenhang zwischen konvergenten Folgen und Cauchyfolgen (\( a_n \epsilon \) R)?Eine Folge ist konvergent genau dann wenn sie auch eine Cauchyfolge ist.
- 17Was besagt das Prinzip der Intervallschachtelung?Zu jeder Intervallschachtelung
\( \langle a_n | b_n \rangle \) gibt es eine reelle Zahl r, die in jedem Intervall [a , b] liegt - 18Was ist eine Intervallschachtelung?Eine Folge von Intervallen [a, b] , bei der sich die Randpunkte immer weiter aneinander annähern
- 19Wie lautet die Definition einer Intervallschachtelung ausgedrückt durch Teilmengen Intervalllängen?Folge von abgeschlossenen Intervallen, bei der das folgende Intervall stets Teilmenge des Vorherigen ist und die Folge der Intervalllängen eine Nullfolge ist.
- 20Wie ist die formale Definition einer Intervallschachtelung?\( I_n = [a_n, b_n] \) |
lim \( (b_n - a_n) \) = 0
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- (Grundlagen KE 4) Mathematik Fichas sobre 13.5 Vier Prinzipien der Konvergenztheorie, creado por David Bratschke el 19/05/2017.
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