Fichas
18.4 Potenzreihen
Fichas del conjunto (18)
- 1Was ist eine Potenzreihe mit Mittelpunkt a und Koeffizienten \( a_n \)?Eine Reihe der Form:
\( \sum\limits_{n=0}^{\infty} a_n (x-a)^n \) - 2Warum betrachtet man in der Regel nur Potenzreihen mit Mittelpunkt 0?Weil sich der Term x-a durch eine einzelne Variable y substituieren lässt.
- 3Nenne ein paar Beispiele für Potenzreihen.Exponentialreihe, Sinusreihe, Logarithmusreihe, Binomialreihe
- 4Konvergiert eine Potenzreihe für \( x = x_0\) dann konvergiert sie auch absolut für alle..?x mit:
\( |x| < |x_0| \) - 5Für welche x konvergiert die Logarithmusreihe \( \sum\limits_{n=1}^{\infty} -1^{n-1} \frac{x^n}{n} \)?für alle -1 < x ≤ 1
- 6Für welche x konvergiert die Binomialreihe: \( \sum\limits_{n=0}^{\infty} \binom{\alpha}{n} x^n \)für alle -1 < x < 1
- 7Was ist der Konvergenzradius einer Reihe?Das Supremum der Menge in der die Reihe absolut konvergiert:
sup (M) für:
M = { x ≥ 0 | \( \sum\limits_{n=0}^{\infty} a_n x^n \) - 8Beschreibe mit eigenen Worten was ein Konvergenzradius ist.Der Abstand vom Mittelpunkt des Invervalls, wo die Reihe absolut konvergent ist, bis zu dem Rand dieses Intervalls.
- 9Ist die Menge, in der eine Reihe absolut konvergiert unbeschränkt, so ist der Konvergenzradius..?unendlich
- 10Ist der Konvergenzradius einer Reihe unendlich, so konvergiert sie ..?für alle \( x \epsilon \R \)
- 11Was ist das sogenannte Konvergenzintervall?Das Intervall in dem eine Reihe absolut konvergent ist.
also:
(-R, R) ,
wenn R der Konvergenzradius ist - 12Was ist ein Häufungswert einer Folge?Ein Wert bei dem in jeder
\( \epsilon\)-Umgebung um diesen Wert unendlich viele Folgenglieder liegen. - 13Wie wird der größte Häufungswert einer Folge genannt und formal bezeichnet?Limes superior
lim sup \( a_n \) - 14Wie wird der kleinste Häufungswert einer Folge genannt und formal bezeichnet?Limes inferior
lim inf \( a_n \) - 15eine beschränkte Folge deren Limes superior = Limes inferior ist, ist ..?konvergent
- 16Was besagt das Konvergenzkriterium von Cauchy-Hadamard für eine Potenzreihe deren Wurzelfolge von \(a_n\) beschränkt ist und der zugehörige Limes superior = a ≠ 0 ist?dann ist der Konvergenzradius R:
\( \frac {1} { lim sup \sqrt[n] |a_n|} \) - 17Was besagt das Konvergenzkriterium von Cauchy-Hadamard für Potenzreihen mit beschränkter Wurzelfolge \(a_n\) deren Limes superior = 0 ist?Dann ist der Konvergenzradius der Reihe unendlich.
- 18Was besagt das Konvergenzkriterium von Cauchy-Hadamard zu Potenzreihen deren Wurzelfolge von \(a_n\) unbeschränkt ist?Dann ist der Konvergenzradius der Reihe = 0
Información
- Descripción
- (Grundlagen KE 6) Mathematik Fichas sobre 18.4 Potenzreihen, creado por David Bratschke el 20/06/2017.
- Creado por
- David Bratschke
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