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NÚMEROS NATURALES

(N)

NÚMEROS

RACIONALES E IRRACIONALES

(Q)

CARACTERISTICAS

*Tiene un número infinito de elementos.

*Es un conjunto ordenable.

*Existe un primer numero natural que es el 1.

*Entre dos números naturales consecutivos no existe otro numero natural.

*Todo numero natural le antecede otro numero natural, excepto el uno,esto indica que el uno es el primer numero natural.

*El sucesor de un número natural se obtiene sumando uno (N+1).

*En el conjunto de los naturales solo podemos realizar dos operaciones (suma y multiplicacion)

El conjuntos de los números naturales se obtiene a partir del numero 1, el siguiente numero natural se obtiene al sumarle la unidad obteniéndose con esto: 1+1=2, 2+1=3, 3+1=4, 4+1=5 y así sucesivamente podemos obtener infinitos números naturales

EJEMPLO

8+5=13; y 3*5=15

NÚMEROS ENTEROS

(Z)

CARACTERISTICAS

*Se realizan tres operaciones (suma multiplicacion y resta)

*No existe un primer número entero.

*El conjunto de los enteros es infinito.

*No existe un ultimo numero entero.

*Entre dos enteros consecutivos no existe otro número entero.

*A cada numero entero le sigue y le antecede oteo numero entero.

*Si bien al introducir los números negativos hemos solucionado el problema de la resta, aún subsiste el problema para el cociente, ya que, por ejemplo 7/3 : no tiene solución en el conjunto de los números enteros. Para dar solución a los cocientes donde el dividendo no es múltiplo del divisor se crearon los números fraccionarios.

z= {…..,-5,-4,-3,-2,-1,0,1, 2, 3, 4,5,…..} recuerda que todo número natural es un número entero.

De ese modo 3 – 3 = 0 (cero) y 3 – 7 = – 4 (opuesto de 4)

EJEMPLO

1 + 3 = 4

-1 + -1 = -2

RACIONALES

(Q)

CARACTERISTICAS

*La suma, multiplicación, resta y la división.

*Los números fraccionarios junto a los números decimales exactos, periódicos puros y periódicos mixto pertenecen al conjunto de los numero racionales.

*El conjunto de los número racionales es un conjunto denso.

*Entre dos números – hay infinitos números racionales. Esta afirmación podría justificarse sencillamente si tenemos en cuenta que la suma de racionales es siempre otro racional, el promedio será otro racional y estará comprendido entre ellos Podríamos continuar indefinidamente el procedimiento de promediar dos números racionales encontrando siempre que hay otro racional entre dos racionales por más próximos que estén. Por ello decimos que Q es un conjunto denso.

El conjunto de los números racionales (Q ) se ha construido a partir del conjunto de los números enteros (Z).

Se expresa por comprensión como:

Q = { a /b tal que a y b€ Z; y b≠ 0 }

IRRACIONALES

(Q')

EJEMPLO

1/4 = .25

1/16 = .0625

CARACTERISTICAS

*Llamamos conjunto de números irracionales a los números decimales que tienen infinitas cifras no periódicas, no se pueden expresar como el cociente entre dos números enteros.

*podemos escribir números que, aunque tienen infinitas cifras decimales, éstas no son periódicas, por ejemplo: 0,1234567891011121314151617181920… (las cifras decimales son la sucesión de los números naturales); 0,1011001110001111000011111….. (las cifras decimales son una sucesión de un uno y un cero, luego, dos unos y dos ceros, tres unos y tres ceros, etc.)

Estos números no son racionales pues es imposible encontrar un período y por lo tanto no se pueden escribir como fracción ordinaria, los llamaremos irracionales.

Todas las raíces inexactas son números irracionales. el PI π = Es el número de veces que el diámetro de una circunferencia cabe en el perímetro de dicha circunferencia.

Se aproxima a 3,14

Se pueden inventar decimales infinitos no periódicos mediante azar o secuencias numéricas.

El número e se aplica a problemas de intereses y de crecimiento exponencial.

e = 2,71828182845904523… se aproxima a 2,7

EJEMPLO

Pi es un número irracional. El valor de Pi es

3,1415926535897932384626433832795 (y más...)

Los decimales no siguen ningún patrón, y no se puede escribir ninguna fracción que tenga el valor Pi.

Números como 22/7 = 3,1428571428571... se acercan pero no son correctos.

NÚMEROS REALES

(R)

CARACTERISTICAS

*Es un conjunto infinito.

*No existe un primer ni un ultimo numero real.

Las dos propiedades mas importante son:

*Propiedad de densidad de los números reales, y propiedad de la representación gráfica.

*El conjunto de los números reales es denso, es decir que entre dos números reales existen infinitos números reales.

La unión de los números racionales con los números irracionales constituye el conjunto de los números reales.

Simbólicamente: R = {….- 10, -1, – ¾, – ½, – ¼, 0, ¼ , √2, 5 , …..} R= {Q U Q’}

EJEMPLO

de 3.1 para llegar a 3.2 podemos pasar por infinitos números 3.11, 3.12, 3.13, 3.1999 etc.

NÚMEROS IMAGINARIOS

(I)

CARACTERISTICAS

Surgen por la necesidad de obtener las raíces de índice par de cantidades negativas. Se denotan por i. La unidad de los números imaginarios es la raíz cuadrada de – 1 y se denota por i, así que: i = √-1.

Debes tener en cuenta:

i2 = -1, i 3 = – i, i 4 = 1.

EJEMPLO

i = √-1

i2 = -1

CONJUNTOS NUMÉRICOS