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ESPACIOS VECTORIALES

Es una estructura algebraica creada a partir de un conjunto no vacío, una operación interna (llanada suma, definida para los elementos del conjunto) y una operación externa (llamada producto por una escalar, definida entre dicho conjunto y un cuerpo matemático), con 8 propiedades fundamentales.

A los elementos de un espacio vectorial se les llama Vectores y a los elementos del cuerpo, Escalares.

Combinación lineal

Sea H un subconjunto no vacío de un espacio vectorial V y suponga que H es en sí un espacio vectorial bajo las operaciones de suma y multiplicación por un escalar definidas en V. Entonces se dice que H es un sub espacio de V.

DEFINICION

SUBESPACIOS

PROPIEDADES

2). H es cerrado bajo la suma de vectores. Esto es, para cada u y v en

H, la suma u + v está en H.

1). El vector cero de V está en H.2

3). H es cerrado bajo la multiplicación por escalares. Esto es, para cada

u en H y cada escalar c, el vector cu está en H.

Una combinación lineal de dos o más vectores es el vector que se obtiene al sumar esos vectores multiplicados por escalares.

Cualquier vector se puede poner como combinación lineal de otros que tengan distinta dirección.

Esta combinación lineal es única.

Sean v1,v2,…,vn vectores en un espacio vectorial V. Entonces cualquier vector de la forma:

α1v1+α2v2+…+αnvn

donde α1v1+α2v2+…+αnvn son escalares se denomina combinación lineal de v1,v2,…,vn.

Todo vector V = (a, b, c) en R3 se puede expresar como

i = (1,0,0);

j = (0,1,0);

k =(0,0,1)

V = (a, b, c) = a(i) + b(j) + c(k)

Entonces se dice que V es una combinación lineal de los 3 vectores i,j,k.

Dependencia e Independencia lineal

Los vectores son linealmente independientes si tienen distinta dirección y sus componentes no son proporcionales.

Un conjunto de vectores {v1,v2,…,vk} es un espacio vectorial V es linealmente dependiente si existen escalares c1,c2,…,ck, al menos uno de los cuales no es cero, tales que:

c1v1+c2v2+…+ckvk=0

Si los vectores no son linealmente dependientes, se dice que son linealmente independientes.

Sean u1, u2, …,uk k vectores en Rn y A la matriz que tiene como columnas a estos vectores, los vectores son linealmente independientes si el sistema Ax = 0 tiene únicamente solución trivial.

Los vectores son linealmente dependientes si el sistema Ax=0 tiene soluciones no triviales (solución múltiple).

Si k=n

Los vectores son linealmente independientes si A es invertible

Si k>n

Los vectores son linealmente dependientes.

Dos vectores en un espacio vectorial son linealmente dependientes si uno de ellos es múltiplo escalar del otro.

Un conjunto de vectores linealmente independientes en n contiene a lo más n vectores.

Tres vectores en 3 son linealmente dependientes si y sólo si son coplanares, esto es, que están en un mismo plano.

Criterios de Independencia Lineal

Cualquier conjunto que contenga al vector 0 es linealmente dependiente.

Cualquier conjunto que contenga un único vector diferente de cero, v ≠0, es linealmente independiente.

Cualquier conjunto formado por dos vectores diferentes de cero, S = {v1, v2}, donde v1 ≠ 0, v2 ≠ 0, es linealmente dependiente si, y sólo si, uno de los vectores es múltiplo escalar del otro.

Cualquier conjunto que contenga un subconjunto linealmente dependiente es linealmente dependiente.

Cualquier subconjunto de un conjunto linealmente independiente es linealmente independiente.

TEOREMAS

Base y dimensión de un espacio vectorial

Espacio vectorial con producto interno

Base ortonormal

Producto Interno:

Un producto interno sobre un espacio vectorial V es una operación que asigna a cada par de vectores u y v en V un número real <u, v>.

Un producto interior sobre V es una función que asocia un número real ‹u, v› con cada par de vectores u y v cumple los siguientes axiomas:

Propiedades:

i. (v, v) ≥ 0

ii. (v, v) = 0 si y sólo si v = 0.

iii, (u, v +w) = (u, v)+ (u, w)

iv. (u + v, w) = (u, w)+(v, w)

v. (u, v) = (v, u)

vi. (αu, v) = α(u, v)

vii. (u, αv) = α(u, v)

Espacios con producto interior:

El producto interior euclidiano es solo uno más de los productos internos que se tiene que definir en Rn Para distinguir entre el producto interno normal y otros posibles productos internos se usa la siguiente notación.

u ●v = producto punto (producto interior euclidiano para Rn)

‹u, v› = producto interno general para espacio vectorial V.

Propiedades de los productos interiores:

1. ‹0, v› = ‹v, 0› = 0

2. ‹u + v, w› = ‹u, w› + ‹v, w›

3. ‹u, cv› = c‹u, v›.

Un espacio vectorial con producto interno se denomina espacio con producto interno.

Definición de conjunto ortogonales y conjuntos ortonormales

Un conjunto S de vectores en un espacio V con producto interior se llama ortogonal si todo par de vectores en S es ortogonal, además cada vector en este conjunto es unitario, entonces S se denomina ortonormal.

Proceso de ortonormalización de Gram-Schmidt

1. Sea B = {v1, v2, . . ., vn} una base de un espacio V con producto interno

2. Sea B´= {w1, w2, . . ., wn} donde wi está dado por:

w1= v1

Un conjunto de vectores S={v1, v2,…, vn} en un espacio vectorial V se denomina base de V si se cumplen las siguientes condiciones.

* S genera a V.

* S es linealmente independiente

Una base posee 2 características que se acaban de ver, debe tener suficientes valores para generar a V, pero no tantos de modo que uno de ellos pueda escribirse como una combinación lineal de los demás vectores en S. Si un espacio vectorial consta de un número finito de vectores, entonces V es de dimensión finita. En caso contrario, V es de dimensión infinita.

Base

En términos generales, una “base” para un espacio vectorial es un conjunto de vectores del espacio, a partir de los cuales se puede obtener cualquier otro vector de dicho espacio, haciendo uso de las operaciones en él definidas.

La base es natural, estándar o canónica si los vectores v1, v2,…, vn forman base para Rn.

Si S={v1, v2,…, vn} es una base para un espacio vectorial V entonces todo vector v en V se puede expresar como:

1. V = c1v1+ c2v2+…+ cnvn

2. V = k1v1+ k2v2+…+ knvn

Restar 2-1

0 = (c1- k1) v1+(c2- k2) v2+…+(cn- kn) vn