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Movimiento Armónico Simple

(MAS)

Es un movimiento periódico en el que la fuerza de restitución es proporcional al desplazamiento. Ese movimiento oscilatorio sin fricción produce variaciones predecibles en términos de desplazamiento y velocidad.

Movimiento periódico

La segunda ley de Newton y la ley de Hooke

Trabajo y energía en el movimiento armónico simple

El círculo de referencia y el

movimiento armónico simple

Velocidad en el movimiento armónico simple

Aceleración en el movimiento armónico simple

El periodo y la frecuencia

El péndulo simple

El péndulo de torsión

Se dice que este tipo de movimiento es periódico porque la posición y la velocidad de las partículas en movimiento se repiten en función del tiempo. Puesto que la fuerza de restitución disminuye después de cada vibración, tarde o temprano el

trampolín volverá al estado de reposo.

La fuerza de restitución de un sistema oscilatorio con MAS cumple la ley de Hooke, pero cualquier fuerza resultante satisface la segunda ley de Newton; por ende, la aceleración de una masa que vibra será proporcional tanto a la fuerza resultante como al desplazamiento

F = ma y F = —kx

Una fuerza externa F actúa a lo largo de una distancia x al comprimir el resorte. Este trabajo es positivo e igual al producto de la fuerza por la distancia, Fx. A la vez, el resorte ejerce una fuerza equivalente y en dirección opuesta (contra la fuerza que comprime) que realiza la misma cantidad de trabajo, pero negativo. lo que significa que la energía potencial U almacenada en el resorte está dada por:

Las leyes del movimiento uniformemente acelerado no se aplican al MAS debido a que en éste hay una fuerza que varía. El movimiento armónico simple es producto de esa fuerza, que es proporcional al desplazamiento.

Mientras la masa m permanezca constante, la aceleración aumentará con el desplazamiento y su dirección siempre será opuesta a éste.

En general, la velocidad de este cuerpo en cualquier punto Q se determina a partir del círculo de

referencia de esta forma:

La velocidad de un cuerpo que oscila jamás es constante. Por tanto, la aceleración tiene suma relevancia en las ecuaciones obtenidas para la posición y la velocidad en la sección anterior.

La velocidad y la aceleración de cuerpos que oscilan podemos deducir algunas fórmulas útiles para calcular el periodo o la frecuencia de la oscilación. Para la frecuencia f se obtiene:

Cuando una lenteja de un péndulo oscila unida al extremo de una cuerda o varilla ligera, lo hace con algo próximo al movimiento armónico simple

(MAS).

El momento de torsión T es directamente proporcional al desplazamiento angu-

lar. Por tanto:

El movimiento periódico es aquel en el que un cuerpo se mueve de un lado a otro, sobre una trayectoria fija, y regresa a cada posición y velocidad después de un intervalo de tiempo definido.

De acuerdo con la ley de Hooke, la fuerza de restitución F es directamente proporcional al desplazamiento a partir de x - 0. Esa fuerza siempre se opone al desplazamiento, de modo que la ley de Hooke puede escribirse como

F= -kx ->Ley de Hooke

Amplitud

El desplazamiento máximo a partir de la posición de equilibrio x = ± A se llama amplitud. En esta posición, el disco experimenta su fuerza máxima dirigida hacia el centro de oscilación. La fuerza disminuye a medida que el disco se aproxima al centro de oscilación; al llegar a él, se vuelve igual a cero.

Periodo T

El periodo T se define como el tiempo en el que se realiza una oscilación completa cuando el objeto se mueve con MAS. Si tiramos de la masa hacia abajo una distancia y = —A y luego la soltamos, su movimiento se aproximará al MAS. El tiempo que va desde que se la suelta en y = —A hasta que vuelve a y = —A representa el lapso de una oscilación completa, es decir, el periodo.

Frecuencia F

La frecuencia f es el número de oscilaciones completas por unidad de tiempo. Puesto

que el periodo es igual a la cantidad de segundos por oscilación, se deduce que la frecuencia

será el recíproco del periodo o número de oscilaciones por segundo. En el SI, la unidad para la frecuencia (oscilaciones/segundo) es el hertz (Hz):

Al combinar estas dos relaciones se obtiene

ma = —kx

Así que la aceleración de una masa m que se mueve con MAS está dada por:

La energía potencial se guarda en el resorte sólo cuando está comprimido o extendido. Por su parte, la energía cinética sólo existe si la masa tiene velocidad. Recuerde que la energía total (U + K) de un sistema no cambia. En consecuencia, en ausencia de fricción escribimos:

Básicamente, en cualquier punto durante

la oscilación, la energía total (E = U + K) es:

El desplazamiento x de la proyección Q es, por tanto:

El desplazamiento como una función de la

velocidad angular del punto de referencia

Aunque la velocidad angular w es útil para describir el movimiento del punto de referencia P, no se aplica directamente a la proyección Q. Sin embargo, recordemos que la velocidad angular se relaciona con la frecuencia de revolución mediante:

El signo es negativo en virtud de que la dirección de la velocidad es hacia la izquierda. Podemos dar una forma más conveniente a la ecuación si recordamos la relación entre la velocidad tangencial v1 y la velocidad angular:

La aceleración a de la sombra representa el MAS y es igual

a la componente horizontal de la aceleración centrípeta ac de la masa. Donde w = 2pif. El signo menos indica que la aceleración es opuesta al desplazamiento pero

igual a la dirección de la velocidad.

De nuestra explicación sobre la rotación y el movimiento circular recordemos que:

Si combinamos ambas relaciones se obtiene:

Como ac = w2R y R = A, es posible rescribir la ecuación:

Esta relación expresa la aceleración de un cuerpo que se mueve con MAS con amplitud igual a A y frecuencia angular igual a w (en rad/s). Es posible hallar la misma ecuación expresada en términos de la frecuencia/(en Hz) sustituyendo w = 2pif para obtener:

Si observamos la ecuación podemos simplificar esta ecuación como sigue:

Puesto que el desplazamiento x y la aceleración son siempre de signos opuestos, el término —a/x siempre es positivo. El periodo T es el recíproco de la frecuencia. Recurriendo a este hecho en la ecuación definimos el periodo como:

Por consiguiente, si se conoce la aceleración correspondiente a un determinado desplaza-

miento es posible calcular el periodo de oscilación. Cuando se analiza el movimiento de cuerpos bajo la influencia de una fuerza de restitución elástica, es más conveniente expresar el periodo en función de la constante del resorte y de la masa del cuerpo que oscila, lo cual se logra comparando las ecuaciones:

Combinando estas relaciones obtenemos:

La longitud del desplazamiento es simplemente el producto del ángulo "teta" y la longitud de la cuerda, por lo que:

Si el movimiento de la lenteja corresponde al MAS, la fuerza de restitución estará dada

por:

Lo que significa que la fuerza de restitución debiera ser proporcional a 9, puesto que la longitud L es constante. Examinemos la fuerza de restitución para ver si esto es cierto. En el movimiento de un lado a otro de la lenteja, la fuerza de restitución necesaria la proporciona la

componente tangencial del peso.

Cuando se utiliza la aproximación sen "teta" — "teta"

Comparando esta relación con la ecuación se obtiene:

Donde:

Sustituyendo esta proporción resulta una expresión para el periodo de

un péndulo simple'.

Observe que para amplitudes pequeñas el periodo del péndulo simple no está en función de la masa de la lenteja ni de la amplitud de la oscilación. En realidad, puesto que la aceleración de la gravedad es constante, el periodo depende exclusivamente de la longitud de la cuerda o varilla.

Donde k’ es una constante que depende del material de que está hecha la varilla

El periodo del movimiento armónico

simple angular producido en esta forma está dado por:

Donde I es el momento de inercia del sistema que oscila y k! es la constante de torsión definida por la ecuación

donde los subíndices 0 y / se refieren a los valores inicial y final. Si hay fricción, debemos sumar en el miembro derecho de la ecuación el trabajo absoluto realizado por ella.

Esta ecuación puede aplicarse para calcular el desplazamiento de un cuerpo que se mueve con

un MAS de amplitud A y frecuencia/. Recuerde que el desplazamiento x siempre se mide a partir del centro de oscilación.

donde w se expresa en radianes por segundo y/es el número de revoluciones por segundo. También hay que reconocer que la proyección Q describirá una oscilación completa, mientras el punto de referencia describe una revolución completa. Por tanto, la frecuencia/es la misma para cada punto. Sustituyendo w = 2pif en la ecuación:

Con esta ecuación se obtiene la velocidad de un cuerpo que oscila en cualquier instante si

se tiene presente que sen "teta" es negativo cuando el punto de referencia queda por debajo del

diámetro del círculo de referencia.

Sustituyendo en la ecuación nos queda:

O bien:

Por tanto, la ecuación se convierte en:

Ni el periodo ni la frecuencia dependen de la amplitud (desplazamiento máximo) del cuerpo oscilatorio; sólo dependen de la constante del resorte y de la masa del

cuerpo mismo.

Finalmente, el periodo T está dado por el recíproco de la frecuencia, es decir:

De donde resulta que la frecuencia es:

Alumna: Alvarado Olivares Valeria

Grupo: 656

Materia: Física IV